Segíteni a gouge
Legyen a w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y) w függvény a pont = + i szomszédságában. ahol u (xy) és v (x, y) folyamatosan differenciálható (sima) a pont szomszédságában. És feltételezzük, hogy az u = u (x. Y) v = v (x. Y) (1) térképpontja nem nulla a ponton (.) És a szomszédságában. Ezután a leképezés (1) egyenként jelenik meg e pont szomszédságában.
Rassm. a síkon egy sima görbe eredetű a ponton. Tegyük fel, hogy z. z. Jelöljük z = z-vel. = arg z. l a ponton lévő görbe érintő vektora. = arg l.
A w síkra mutató sima görbe a pontban = f () a w = f (z) leképezés alatt a görbe képe. w = w-. = arg w, l 'a k érintővektorja a ponton. = arg l '.
k = a görbe lineáris kiterjesztése a ponton. - a görbe forgási szöge ebben a pontban a w = f (z) leképezés alatt.
Legyen w = f (z) legyen egy ponton és f '() 0. Ezután = f' (z) és =. = (2), - = arg f '() (3).
A (2) jobb oldala nem függ a görbe típusától és irányától. azaz az m-ben lévő lineáris kiterjesztés minden olyan görbével megegyezik, amelynek eredete egyenlő és egyenlő. Ezt a tulajdonságot a w = f (z) térkép kiterjesztésének konstansnak nevezzük
A (2) = + o () függvényből, azaz okr-tt = a szomszédságba kerül = *. (Emiatt a kiterjesztések állandóságának tulajdonságát körkörös tulajdonságnak is nevezik)
A (3) jobb oldala nem függ a görbe típusától és irányától. azaz a ponton a forgásszög megegyezik minden olyan görbével, amelynek eredete a ponton, és megegyezik az arg f '() értékkel.
A görbék közötti szög a ponttól kiindulva az ezen a pontokon érintkező vektorok szöge.
A szögek megőrzésének tulajdonsága: a görbék közötti szög egy pontban megegyezik az ezen görbék képének szögével abszolút értékben és a referencia irányában a pontban = f ().
A leképezés (1) Jacobianja a tartományok kiterjesztésének együtthatója. Ha a W tartományban a w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y) szabályos, akkor a Cauchy-Riemann feltételektől J (x, y) = - = +. azaz J (z) = J (x, y) = (4).
Legyen w = f (z) legyen szabályos a D-ben és végezzen egy-egy levelezést. A D tartományt a w-sík G tartományához hozzárendeljük. Ezután a (4) -ből S (G) =. Ha D a kép, akkor l () = =.
1. meghatározás. A komplex sík D doménjének w = f (z) leképezését konformális pontnak nevezzük. ha annak komponensei u (x, y) és v (x, y) különbözőek a pontban = + i. és a lineáris leképezés-e (1) a 0 pontra való nyújtás és forgatás összetétele.
Tétel. A w-ben egy w pontban megadott leképezés egy ponton difféom és f '() 0.
2. meghatározás. A w leképezés konformálisnak mondható a D tartományban, ha egyenértékű D-vel és konformálisan minden D pontban.