A teljes faktoriális kísérlet

Esettanulmány a témában:

bevezetés

• 1 Előzetes adatok
  • 1.1 Rendszerparaméterek becslése
  • 1.2 Kísérleti mátrix
  • 1.3 A rendszer megoldása
  • 1.4 Vissza nem szabványos tényezőkhöz
• 2 Teljes faktoriális kísérlet
  • 2.1 A PFE mátrixa általános formában
  • 2.2. A PFE mátrix tulajdonságai
  • 2.3 A lineáris modell együtthatóinak kiszámítása
  • 2.4 A természetes tényezők átalakulása a normalizált és visszafelé
  Információforrások
  

A teljes faktoriális kísérlet (FPE) egy sor méréssorozat, amely megfelel a következő feltételeknek:

• A mérések száma 2 n. ahol n a tényezők száma;
• Minden tényező csak két értéket vesz fel - felső és alsó;
• A mérés során a tényezők felső és alsó értékeit kombinálják minden lehetséges kombinációban.

A teljes faktoriális kísérlet előnyei:

• a paraméterek becslésének egyenletrendszerének egyszerű megoldása;
• a mérések számának statisztikai redundanciája, ami csökkenti az egyes mérések hibáinak hatását a paraméterek becslésére.

1. Előzetes tájékoztatás

Két változó nemlineáris függvényének egy síkhoz való közelítése

1.1. A rendszerparaméterek becslése

A gyakorlatban gyakran szükséges egy adott rendszer paramétereinek kiértékelése, vagyis annak matematikai modelljének felépítése és a modell paramétereinek numerikus értékeinek megkeresése. A modell elkészítéséhez a kezdeti adatokat használják a kísérlet eredményei, amelyek egy bizonyos terv szerint készült több mérés gyűjteményéből állnak. A legegyszerűbb esetben a terv leírja a mérési feltételeket, vagyis a bemeneti paraméterek (tényezők) értékeit a mérés során.

Példák azoknak a rendszereknek, amelyek paramétereinek értékelése gyakorlati szempontból releváns, különböző technológiai folyamatok szolgálhatnak. Illusztráljuk, fontoljuk meg a fotolitográfia folyamatát.

A fotolitográfia a kép felszínén való alkalmazását fotográfiai módszerrel végzi. Ez áll a következő lépéseket: felület-előkészítés, bevonat fényérzékeny emulziós (fotoreziszt), szárítás, amelyben egy stencil vagy negatív minta lemez, expozíció (túlexponált) ultraibolya sugarakkal, maratás (fejlesztés). Ahogy a technológiai bonyolult fotolitográfiai ebben az összefüggésben nem fontos, mint a fő befolyásoló tényezők a litográfiás eljárás, azt feltételezzük, hogy a fényérzékeny emulzió vastagsága d (mikronban), és az expozíciós idő t (másodpercben). A folyamat kimeneti paramétere (válasz) az R felbontása lesz. Ez azt jelenti, hogy a megkülönböztethető vonalak maximális száma a felület egy milliméterére húzható. Ezt az értéket egy speciális vizsgálati kép alkalmazásával határoztuk meg a felületre.

Így a fotolitográfia technológiai folyamatát a forma bizonyos funkciója írja le

A technológiai folyamat modelljének felépítése lehetővé teszi, hogy a változó tényezők függvényében azonosítsa a rendszer válaszreakcióját, és így megtalálja a technológia optimalizálásának módjait. Ebben az esetben válassza ki az emulzió vastagságát és expozíciós idejét, amely biztosítja a legjobb képminőséget.

Általában a rendszer válaszát n változók bizonyos függvénye írja le

A rendszer matematikai modelljét ennek a függvénynek valamely más funkcióval, például lineárisan történő közelítésével kapjuk meg

Az ábra grafikusan szemlélteti a fotolitográfiás eljárás lineáris modelljének előállítását, ahol x1 a fotográfiai emulziós film vastagsága, x2 az expozíciós idő, és y az ilyen körülmények között kapott felbontás. Az y = f (x1, x2) függvény nemlineáris, de az A0 pont megfelelő szomszédságában helyettesíthető az y = a0 + a1x1 + a2x2 érintő síkkal. Az ábrán látható régióban a modell maximális hibája Δy.

A0, a1, a2 modell együtthatók ismerete. a függvény (és ennek következtében a rendszer viselkedését) értékét előre megjósolhatjuk az A0 pont környékén. Az a0, a1, a2 együtthatók értékeinek meghatározásakor a kísérlet célja.

1.2. Kísérleti mátrix

A kísérleti pontok elhelyezkedése a kétdimenziós faktor térben

Tegyük fel, hogy a technológiai folyamat kezdeti paraméterei: filmvastagság 55 mikron, expozíciós idő 30 másodperc, azaz

Vegyük mindkét tényező felső és alsó értékét úgy, hogy szimmetrikusan helyezkedjen el az aktuális értékhez képest

Állítsunk össze egy olyan táblázatot, amelyben mindkét tényező értéke minden lehetséges kombinációban, és ezeken a pontokon méréseket végez (a válaszértékeket feltételesen adják meg):

Feltéve, hogy a folyamat lineáris modellje a formában van

a kapott eredmények alapján négy változóból álló két egyenletből álló rendszer állítható össze. Az alábbiakban látható ez a rendszer, valamint a rövidebb rekord mátrix formájában. Az ilyen típusú mátrixot a kísérleti mátrixnak nevezik.

A kísérleti mátrixban a második és a harmadik oszlop a faktorértékek, a negyedik oszlop a rendszer válaszértékek, és az első oszlop tartalmazza az a0 modell szabad szakaszának egységenkénti egységeit. Ezt az oszlopot virtuális tényezőnek tekintjük x0. amely mindig egyetlen értéket vesz fel.

1.3. A rendszer megoldása

Átmenet a normalizált koordinátákhoz

A rendszer megoldásának megkönnyítése érdekében elvégezzük a tényezők normalizálását. A tényezők felső értékeihez a +1 normalizált értéket kapjuk, az alacsonyabb értékeket - az normalizált értéket -1, az átlagértéket - a normalizált 0 értéket. Általában a faktor normalizálását a

Figyelembe véve a tényezők normalizálódását, az egyenletek rendszere és a kísérlet mátrixa a következő formát öltheti:

Mivel a mátrix második és harmadik oszlopában szereplő kifejezések összege nulla, a modell szabad tagja megtalálható mind a négy egyenlet hozzáadásával:

A modell egy másik koefficiensének megkereséséhez az egyenletben lévő jeleket úgy kell megváltoztatnunk, hogy a megfelelő oszlopban csak egy egység legyen, majd add ki mind a négy egyenletet:

Így a technológiai folyamat lineáris modellje az (55, 30) pont közelében van kialakítva

Általában a rendszer megoldása fog kinézni

1.4. Visszatérés a nem szabványos tényezőkre

A normalizált és nem normalizált faktorok közötti átmenet az inverz transzformációval valósul meg

A nem szabványosított koordináták modellparamétereinek megkereséséhez helyezze el a normalizált koordináták kifejezését a modell egyenletében:

Összehasonlítva az utolsó kifejezést a lineáris modell kifejezésével nem normalizált koordinátákkal

kapunk kifejezéseket a modell paraméterekhez:

A fenti példához

Végül megkapjuk a modellt a természetes koordinátákban:

2. Teljes faktoriális kísérlet

2.1. PFE általános mátrixa

Általánosságban elmondható, hogy a teljes tényleges kísérlet mátrixa n faktorokkal rendelkezik

2.2. A PFE mátrix tulajdonságai

A PFE mátrixa a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• A mátrixban lévő sorok száma 2 n;
• A mátrix nulla oszlopa az alábbiakból áll:

• Az 1. oszlopok tartalmazzák az összes lehetséges 2 n kombinációt -1 és +1;
• Az utolsó oszlop tartalmazza az 1. oszlop megfelelő soraiban rögzített tényezők értékeire kapott mérési eredményeket.
• A nulla oszlop elemeinek összege mindig 2 n:

• Az oszlopok elemeinek összege, a nulla és az utolsó kivételével, nulla:

• Az utolsó két kifejezés egyetlen arányban kombinálható:

• Az (kivéve az utolsó oszlop) elemeinek négyzetének összege mindig 2 n:

• A két oszlop (az utolsó kivételével) megfelelő elemeinek összege nulla:

• Az utolsó két kifejezés a mátrix oszlopainak ortogonalitásaként írható:

2.3. A lineáris modell együtthatóinak kiszámítása

A lineáris modell koefficienseit a normalizált koordinátákban az alábbi képletek számolják:

A lineáris modell együtthatóit a természetes (nem normalizált) koordinátákban az alábbi képletekkel számolják:

2.4. A természetes tényezők átalakulása a normalizált és visszafelé