A kristálytani csoport, a tudomány, a wikia által működtetett fandom

Bieberbach tétele

Két kristályos csoportot ekvivalensnek tekintünk, ha konjugáltuk az euklideszi tér affin transzformációinak csoportjában.

Bármelyik dimenziós krisztallográfiai csoport lineárisan független párhuzamos fordításokat tartalmaz; a transzformációk lineáris részeinek csoportja (vagyis a c) képlete véges.
Két krisztallográfiai csoport egyenértékű, ha és csak akkor, ha elvont csoportokként izomorf.
Mindenesetre csak egy véges számú - dimenziós krisztallográfiai csoport létezik, amely egyenértékűségnek tekinthető (Hilbert 18. problémájának megoldása).

A tétel lehetővé teszi számunkra, hogy absztrakt csoportokként adjuk meg a kristályos csoportok szerkezetét: Legyünk a kristályos csoporthoz tartozó valamennyi párhuzamos fordításból. Ezután egy véges index normális alcsoportja, amely izomorf, és egybeesik a központosítójával. Egy ilyen normál alcsoport jelenléte absztrakt csoportban szintén elegendő feltétel ahhoz, hogy egy csoport izomorf legyen egy kristályos csoporthoz.

A kristályos csoport lineáris részeinek csoportja megtartja a rácsot; más szavakkal, a rácshálózat alapjainál a transzformációkat egészmágnesekkel írják le.

Csoportok száma Szerkesztés

Az a-dimenziós tér kristályos csoportjainak számát orientációval vagy anélkül az A004029 és A006227 szekvenciák adják. Az egyenértékűségig ott van

17 sík kristályos csoport [1]
219 térbeli kristályos csoport;
- ha a téri csoportokat a konjugációig, az affin transzformációk segítségével megőrzik a tájékozódást. akkor lesz 230 közülük.
A 4. dimenzióban 4894 kristályos csoport létezik, orientáció-megőrzéssel, vagy 4783-as tájolás megőrzése nélkül [2] [3].

Lehetséges szimmetriák szerkesztése

Spot elemek Szerkesztés

A véges alakok szimmetrias elemei, amelyek legalább egy pontot hagynak el.

A pontszimmetriás elemek összes lehetséges kombinációja két szimmetrikus szimmetriacsoportot eredményez kétdimenziós térben és 32 pontos csoportban a 3 dimenziós térben.

A négydimenziós térben újfajta szimmetriaelemek léteznek - kettős forgatás két teljesen merőleges síkban. Ennek következtében nő a transzlációs szimmetriával kompatibilis szimmetriaelemek száma. A terek dimenziója 4. és 5. lehetséges a kristály szimmetriája pontok a megrendelések 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 és 12. Továbbá, mivel a forgatási az egyes abszolút merőleges síktól nem lehet megállapítani, különböző irányokba, ott enantiomorphous pár pont szimmetria elemeket (például kettős elfordulását a negyedrendű, melyek kombinálva fordul 90 ° az első síkban és 90 ° egy második síkban enantiomeresen kettős forgási negyedrendű, ahol a menetek egyesítjük 90 ° egy első síkban, és -90 ° második) . Minden lehetséges kombinációját pont szimmetria elemeket a négy-dimenziós térben 227 vezet 4-dimenziós pont csoportot, amelyek közül 44 enantiomorphous (azaz, összesen 271 fordul pont szimmetria-csoport).

A 6-dimenziós, és a 7-dimenziós terekben a kristályban lehet pont szimmetria elemeket a megrendelések 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 és 30 . [5] Lásd még: Kristálytani restrikciós tétel

Műsorszerkesztés

A kristályos csoportokban mindig vannak fordítások - párhuzamos transzferek. azzal a váltással, amelybe a kristályszerkezet illeszkedik. A kristály transzlációs szimmetriáját a Bravais-rács jellemzi. A 3 dimenziós esetben csak 14 Bravais típusú lehetséges. A 4., 5. és 6. méretekben a Bravais rács típusok száma 64, 189 és 841, [6]. A csoportelmélet szempontjából a fordítócsoport a tér csoport normális Abel-alcsoportja, és a tércsoport a fordítások alcsoportjának kiterjesztése. A tércsoport faktorcsoportja a fordítási alcsoportban az egyik pontcsoport.

Komplex szimmetria műveletek

Körüli elfordulások a tengelyek egyidejű transzlációs egy vektor a e tengely irányában (helikális tengely) és a reflexió sík tekintetében a szinkrontolmács egy vektorral párhuzamos erre a síkra (csúszó síkjára reflexió). A nemzetközi szimbológiában menetes tengelyen által kijelölt szám megfelel a forgástengely egy index érték jellemző a transzlációs tengely mentén, miközben bekapcsolja. Lehetséges menetes tengelyt, 3-dimenziós eset: 21 (elfordulás 180 ° és eltoljuk 1/2 fordítás), 31 (forgatás révén 120 °, és ellensúlyozta 1/3 fordítás), 32 (forgatás révén 120 °, és ellensúlyozta a 2 / 3 fordítás), 41 (kapcsolja 90 °, és ellensúlyozta 1/4 fordítás), 42 (kapcsolja 90 °, és ellensúlyozta 1/2 fordítás), 43 (90 ° -os forgatás és transzlációs eltolódása a 3/4), 61 62. 63. 64. 65 (forduljon 60 ° -kal, és a fordítás 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 és 5/6 fordulattal). A 32, 43, 64 és 65 tengelyek enantiomorfok a 31., 41., 62. és 61. tengelyekhez képest. Ezeknek a tengelyeknek köszönhetően 11 térbeli csoport enantiomorf párosa van - mindegyik párban egy csoport a másik tükörképe.

A csúszó-visszaverő síkokat a kristályos cellák tengelyeihez viszonyítva a csúszási irány függvényeként jelölik. Ha a csúszka az egyik tengely mentén történik, akkor a síkot a megfelelő a latin betű jelöli. b vagy c. Ebben az esetben a csúszás mindig egyenlő a fordítás felével. Ha csúszás van irányítva az átló mentén az arc vagy a test átlója a sejt, a sík jelöli n az esetben azonos sima fél átlós, vagy abban az esetben, csúszó d chetvetri átlós egyenlő (ez csak úgy lehetséges, ha az átlós középre). Az n és a d síkokat klinoplanoknak is nevezik. A d síkokat néha gyémánt síkoknak nevezik, mert gyémánt szerkezetében vannak jelen (angol gyémánt - gyémánt).

Jelmagyarázat Edit href = Szerkesztés

Számozás szerkesztése

A krisztallográfiai (térbeli) csoportokat, amelyek mindegyike benne rejlő valamennyi szimmetrias elem, a Nemzetközi Kristálytiszta Táblák című nemzetközi könyveiben foglaltak össze. A kézikönyvben szereplő számozás használata elfogadott. A csoportok számozása 1 és 230 között növekvő szimmetria szerint történik.

Herman-Mogen hírnöke

Tér-csoport szimbólum tartalmaz egy szimbólum a Bravais rács (nagybetűs P, A, B, C, I, R vagy F), és a nemzetközi szimbólum-csoportot. Symbol Bravais rács jelenlétét jelzi további adás csomópontok belüli elemi cella: P (primitív) - primitív sejt; A, B, C (A-központú, B-központú, C-központú) - egy további csomópont a közepén egy arc A, B vagy C, sorrendben; I (I-központú) - test- (kiegészítő csomópont a cellában központban), R (R-központú) - kétszer test- (két további csomópontok a fő diagonális az elemi cella), F (F-központú) - lapcentrált (több csomópont a központok minden arcok).

A pontcsoport nemzetközi szimbólumát általában három szimbólum képezi, amelyek a kristálycellában lévő három fő iránynak megfelelő szimmetrias elemeket jelölik. Szimmetria elem irányának megfelelő, utal, hogy vagy szimmetriatengelye húzódó ebben az irányban, vagy arra merőleges síkban szimmetrikus vagy mindkettő, és egy másik (jelen esetben, ezek segítségével regisztráljuk egy töredéke, így például, a 2 / c - egy szimmetria tengelye érdekében 2 és merőleges a tükrözés tükrözésének síkjára a c) irányú elmozdulással. A megértés fő vonalai között:

a sejtalapú vektorok irányai triklinikus, monoklinikus és rhombikus syngony esetén;
a 4. sorrendű tengely irányát, az egyik alegység vektorának irányát az egységcellában és a cellaalap diagonális irányát a tetragonális rendszer esetében;
tengelye irányában a 3. rendű vagy 6-sorrendben, az irányt egyik alapja vektorok alapján az elemi cellát és a vektor irányát az elemi cella az átlós szögben 60 ° az előző esetén hexagonális rendszerű (a leírásban is szerepelnek a trigonális kristály rendszer, amely ebben az esetben az, az egységcellák hatszögletű tájolásához);
az alapvektorok egyikének irányát, az egységcella térdiagnosztikai irányát és az alapvektorok közötti szögfelezővonal mentén lévő irányt.

A Herman-Mogen szimbólumokat általában rövidítjük, eltávolítva a hiányzó szimmetriaelemek szimbólumait külön irányban, amikor ez nem hoz létre kétértelműséget, például írja a P4 helyett P411-et. A kétértelműség hiányában, hagyja el a másodrendű tengelyeket, amelyek merőlegesek a szimmetria síkjára, például cserélje ki a C by.

Szimbólum a Schönflies Edit href = Szerkesztés

A Schönflies szimbólum határozza meg a szimmetriaosztályt (a fő karaktert és az indexet) és a feltételes csoportszámot ezen a kategórián belül (superscript).

Cn - ciklikus csoportok - a szimmetria forgástengelye által képviselt egyetlen speciális irányú csoportokat - a C betű az alsó n numerikus indexrel jelöli. amely megfelel ennek a tengelynek a sorrendjében.

Az egy szimmetria inverziós tengellyel rendelkező cni-csoportokat egy i.
CNV (ez a függőlegestől -. Vertikális) - is van egy szimmetriasíkja mentén az egyedüli vagy fő szimmetria tengelye, amely mindig úgy gondoltam, függőleges.
Cnh (ebből vízszintes - vízszintes) - szintén szimmetriasík van, merőleges a szimmetria fő tengelyére.

S2. S4. S6 (belőle spiegel - tükör) - csoportok egy tükörszimmetriatengellyel.

Cs - határozatlan tájolású síkra, vagyis nincs rögzítve a csoport más szimmetrias elemeinek hiányában.

Dn - egy Cn csoport, amelynek második n-szimmetria tengelyei a kezdeti tengelyre merőlegesek.

Dnh - vízszintes szimmetriasíkja is van.
A Dnd (átlós diagonálistól) függőleges átlós szimmetria síkjai is vannak, amelyek a második rend szimmetriatengelyei között futnak.

O, T - szimmetria-csoportok több, magasabb rendű tengellyel - köbrendszer csoportok. O betűvel jelölve, ha az oktaéder teljes szimmetriatengelyét vagy a T betűt tartalmazzák, ha a tetraéder teljes szimmetriatengelyeit tartalmazzák.

Az Oh és a Th egy vízszintes szimmetriasíkot is tartalmaz
Td - tartalmaz egy átlós szimmetriasíkot is

n értéke 1, 2, 3, 4, 6 lehet.

Történelem szerkesztése

A krisztallográfiai csoportok elméletének eredete a díszítések () és a kristályszerkezetek () szimmetriájának vizsgálatához kapcsolódik. Az összes síkbeli (kétdimenziós) és háromdimenziós (háromdimenziós) kristályos csoportok besorolása függetlenül a Fedorov (1885), a Schoenflies (1891) és a Barlow (1894). A többdimenziós krisztallográfiai csoportok főbb eredményeit a németországi Bieberbach kapta [8].