Taylor (1685-1731) - angol matematikus
Ábra. 4. A tágulás tíz feltétele
Ahhoz, hogy a legpontosabb értéket a függvény a minimális taglétszámmal szükséges a bővítés a sorfejtésének paraméterként, és válasszon egy szám, ami elég közel az x értékét.
és e szám funkciójának értéke könnyen kiszámítható.
Például számítsa ki a sin20 0 értékét.
Először fordítsuk át a 20 0 szög sugarát: 20 0 = p / 9.
A Taylor-sorozat bővítését alkalmazzuk, korlátozzuk magunkat a terjeszkedés első három feltételével:
A négy számjegyű Bradys táblában a szög szinuszának értéke 0,3420.
A grafikon a Taylor-sorozat bővítésének változását mutatja a bővítésben szereplő kifejezések számától függően. Amint látható, ha korlátozzuk magunkat a terjeszkedés három feltételével, akkor elérjük a 0,0002 pontosságot.
Fentebb említettük, hogy a h®0 sinx funkció infinitezimális, és a számítás helyettesíthető egyenértékű infinitezimális X függvényében. Most azt látjuk, hogy a x-hez közeli x-hez közel gyakorlatilag nincs veszteség, csak a bővítés első futamidejére korlátozódhatunk, sinx @ x.
Példa: Számítsa ki a sin28 0 13 ¢ 15 ¢¢ értéket.
Annak érdekében, hogy a sugárban az adott szögt képviseljük, a kapcsolatokat használjuk:
Ha korlátozzuk magunkat a Taylor-féle expanzió három első kifejezésére, kapunk: sinx =.
Az eredmény összehasonlítása ezzel a szög pontosabb szinuszértékével,
azt látjuk, hogy a bővítésben csak három feltétel korlátozásával a pontosság 0,000002 volt, ami több mint elég a legtöbb gyakorlati technikai probléma miatt.
Megkapjuk: f (x) = ln (1 + x); f (0) = 0;
A program elindításához kattintson duplán az ikonra
Megjegyzés: A program futtatásához a Maple programot telepíteni kell a számítógépre (Ó Waterloo Maple Inc.) bármilyen verzióját, a MapleV Release 4-től kezdve.
Tételek az átlagban.
(Rolle (1652-1719) - francia matematikus)
Ha az f (x) folytonos a [a, b], differenciálható az intervallum (a, b), és az értéke a függvény végein egy szegmens megegyezik az f (a) = f (b), akkor az intervallum (a, b) van egy pont e, a A geometriai jelentését Rolle tétel abban a tényben rejlik, hogy a Tétel feltételei az intervallum (a, b) van egy e pont úgy, hogy a megfelelő ponton a görbe y = f (x) párhuzamos érintő a tengely Ox. Az intervallumban több ilyen pont létezhet, de a tétel legalább egy ilyen pont meglétét állítja. Bizonyítás. Az intervallumon folyamatosan működő függvények tulajdonsága alapján a [a, b] szegmens f (x) függvénye a legnagyobb és a legkisebb értéket veszi fel. Ezeket az M és m értékeket jelöljük. Két különböző eset van M = m és M ¹ m. Legyen M = m. Ezután az [a, b] intervallumon az f (x) függvény állandó marad, és az intervallum bármely pontján a származéka nulla. Ebben az esetben az intervallum bármely pontját megtehetjük. Legyen M = m. Tehát a szegmens végein lévő értékek egyenlők, akkor az M vagy m értékeinek legalább egyike az [a, b] intervallumon belül van. Jelöljük e, a Df (e) = f (e + Dx) - f (e) ≥ 0 De mivel az e pontban levő származék hipotézise létezik, akkor létezik egy határ. mert és. akkor következtethetünk: Rolle tétele számos következménnyel jár: 1) Ha az f (x) függvény megfelel a Rolle tételének az [a, b], és f (a) = f (b) = 0, akkor létezik legalább egy e pont, a 2) Ha az intervallum (a, b) f (x) a származék (n-1) - ed rendű és n-szer nulla, akkor létezik legalább egy pontján az intervallumot, amelyben a származék (n - 1) - annak érdekében, nulla. (Joseph Louis Lagrange (1736-1813) francia matematikus) Ha az f (x) folytonos a [a, b] és differenciálódnak az intervallumot (a, b), hogy ebben az intervallumban van legalább egy pont egy Ez azt jelenti, hogy amikor végre intervallumon tétel feltételeit, az arány a lépésekben, hogy a növekmény az érvelés funkció ebben az intervallumban egyenlő a származékot egy bizonyos közbenső ponton. A fent tárgyalt Rolle-tétel a Lagrange-tétel speciális esete. Az arány megegyezik a secant AB szögértékével. Ha az f (x) kielégíti a tétel, akkor az intervallum (a, b) van egy e pont úgy, hogy a megfelelő ponton a görbe y = f (x) párhuzamos a tangensét szelő összekötő pont és pont B. Az ilyen lehet valamivel , de az biztos, hogy létezik. Bizonyítás. Néhány kiegészítő funkciót tartunk számon A secant AB egyenlete az alábbi formában írható: Az F (x) függvény megfelel a Rolle tételének. Sőt, az [a, b] intervallumon folyamatos, és az intervallumon (a, b) differenciálható. Rolle tétele szerint létezik legalább egy pont e, a mert . akkor. ezért
Kapcsolódó cikkek