Az általánosított függvény meghatározása
Hagyja a kompakt támogatás funkcióinak térét.
Def. Lin. folytonosságát. egy térbeli funkciót egy általánosított függvénynek (egy tengelyen) fognak nevezni.
Az összes általánosított függvény, a fenti definíció alapján, konjugált sorozatot alkot a véges függvények térére.
Ha általánosított függvény és. akkor a számot az általánosított f függvény értéke az x kompakt formában támogatott függvénynek nevezik.
Ne feledje, hogy gyakran a matematikai jelölés helyett
Annak érdekében, hogy a D téren egy lineáris függvény általánosított legyen, szükséges és elegendő, hogy az alábbi feltételek valamelyike teljesüljön:
1. A D térben nullához konvergáló bármely szekvencia () esetén a numerikus szekvencia () nullára konvergál.
2. A funkcionalitás korlátos.
3. Minden n természetes számnál a funkcionalitás folyamatos a térben. azaz a következő feltétel teljesül:
. Ha a (3) állapotban olyan m-t veszünk be, amely nem függ n-től. amely egyenértékű az állapotával. akkor a funkcionális f az általánosságos függvény a végletes szingularitási függvénynek. és a legkisebb m. (2) az általánosított függvény szingularitása sorrendjének nevezzük. Az általánosított függvényeket, amelyek nem végleges sorrendi szingularitási függvények, a végtelen számú szingularitási függvény általánosított funkcióinak nevezik.
Egy szám tengelyen meghatározott függvényt rendesnek nevezik, ha a Lebesgue integrálható a számtengely véges intervallumára.
Legyen f egy rendes funkció. A D szóközt a következő képlethez társítjuk: () (3).
Mivel f egy közönséges függvény és az x függvény kompakt, a (3) jobb oldalán található integrál létezik, és véges.
A funkcionalitás linearitása az integrál linearitásától függ.
Bizonyítsuk be, hogy a funkció folyamatos. Hadd legyen. A meghatározó egyenlőségből (3) van. ahol a rövidség kedvéért bevezetjük a jelölést.
A rece. nerav-va ezt követi. A zeroth-rend szingularitási függvény. Minden szokásos függvényhez általánosított függvényt társítunk, a zeroth-rend szingularitással. Egy ilyen általánosított funkció rendszeres. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy rendszeres általánosított függvényt generálunk az általános f függvényből. Az általánosított funkciókat, amelyek nem szabályosak, különálló általánosított függvények.
Példák a nem rendszeres általános funkciókra:
1. funkciót. Általánosított funkció. az úgynevezett delta funkció, vagy a Dirac delta funkció, amelyet a
2. Offset-funkció. Erősítse meg és határozza meg az általánosított funkciót. Az általánosított nevezzük az eltolódott funkciót.
3. Általánosított funkció. A funkció nem rendes funkció, mivel nem integrálható nullához közel. Azonban meghatározhatunk egy általánosított függvényt, amelyet jelöltünk. az alábbiak szerint: ahol v.p. azt jelenti, hogy a főérték az integrál Cauchy értelmében értendő.
4. Általánosított funkció
5. Általánosított funkció