Permutation csoportok
A X véges sorozatot, és elemeit 1,2-gyel jelöljük. n. Minden elemet (permutáció): X ® X-t tekintünk. Látható, hogy a leképezések összetételét illetően csoportot alkotnak. Ezt a csoportot az n-edik teljesítmény szimmetrikus csoportjaként nevezik és Sn vagy S (X) jelöli. Könnyű megmutatni, hogy | Sn | = n !. Így például az S3 csoport hat helyettesítésből áll:
Az alsó sorban a felső sorban lévő 1, 2, 3 elemek képei láthatók. Az s1 s2 szubsztitúciók termékének kiszámításakor elfogadjuk, hogy a leképezést jobbról balra végezzük; először a térkép s2. majd s1. Például:
A szimmetrikus csoport alcsoportjai permutációs csoportnak nevezhetők.
Az 1 ® 2 ® 3 ® ... ®k ® 1 formanyomtatványt egy k hosszúságú ciklusnak nevezzük, amelyet (1,2, ..., k) jelölünk. Két ciklust neveznek függetlennek, ha az általuk mozgatott elemek párosan különböznek egymástól. Független ciklusok ingáztak, azaz számukra az s1 s2 = s2 s1 feltétel teljesül. A 2. hossza ciklusnak nevezzük az átültetést.
1. tétel. Minden helyettesítés egyedülállóan bontódik egy független ciklus termékébe.
Tétel 2. Minden helyettesítés tÎ Sn a transzpozíciók terméke.
Nem lehet egyediség a kérdésben, ha csak azért van, mert minden átültetésnél és helyettesítésnél s 2 = s van. Mindazonáltal, a k számának paritásának jellege a p = t1 t2 ... tk transzpozíciók termékcseréjében történő kiterjesztésében a p szubsztitúció egyedileg határozza meg. Valójában a transzpozíciós helyettesítés szorzása megváltoztatja a p = a1a2 ... a permutáció paritásának karakterét az ellenkezővel. Ezért ha a t1 t2 ... tk transzpozíciók egy a1a2 ... a permutációt vezetnek az 1., ..., n, majd p = tk ... t1 formához. és fordítva, ezért a p helyettesítés paritásának jellege egybeesik az a1a2 ... a permutáció paritásának karakterével. A permutáció egyenletes vagy páratlan, a k számának paritásától függően.
3. tétel. Az n> 1 esetében az egyenletes permutációk száma megegyezik a páratlan permutációk számával és egyenlő n / 2-vel.
Nem nehéz megmutatni, hogy az összes permutáció egy Sn alcsoportot képez. Ezt az alcsoportot váltakozó csoportnak nevezik, amelyet An jelöli. N> 1 esetén a bomlás Sn = An È(1.2) An. Ezért [Sn: An] = 2. Minden csere eseténÎA szomszédos osztályok pAn és An p szomszédos osztályai minden páros vagy minden páratlan permutációból állnak, a p helyettesítő paritásától függően. Ezért Sn Tétel 4 (Cayley). Minden véges G csoport izomorf a szimmetrikus Sn csoport alcsoportjához, ahol η = | G |.
Kapcsolódó cikkek