A hullám fogalma
A hullám fogalma. A hullám jellemzői
Az előző fejezetben megvizsgáltuk az egyes részecskék oszcillációit, amelyek az ismétlődő kvázi-rugalmas erők hatása alatt fordulnak elő. Ha van egy sor összekapcsolt részecske (mint például az 5.8. Pólusú pendulumok), és egyikük kezd oszcillálni, akkor a többi részecskék oszcillálnak utána. Ilyen helyzetben minden folyamatos médiumban: gázok, folyadékok és szilárd anyagok kellenek. Általánosságban elmondható, hogy ha az oszlopok közel egy pontnyi térben izgatnak a szomszédos pont közelében lévő oszcillációknál, akkor ezek az oszcillációk az egész térben propagálódnak. Az űrben lévő oszcillációk terjedésének folyamatát hullámnak nevezzük. Számos különböző típusú és természetű hullám van. Ha az oszcilláció átadása annak a ténynek tulajdonítható, hogy a közeg részecskéi összekapcsolódnak a tápközeg rezgései során keletkező rugalmassági erőkkel, akkor a hullámokat elasztikus hullámoknak nevezzük. Amikor a tápközeg deformálódik, az anyagi részecskék elmozdíthatók az egyensúlyi helyzetekből; egyes részecskék elmozdulása a szomszédos részecskék elmozdulását okozza - az elmozdulások a közegben mozognak. Tehát van egy futó rugalmas hullám. A rugalmas hullámok például hanghullámok és hullámok feszített vonósok. A hullámok egy másik példája a folyadék felszínén lévő hullámok. Nagy jelentőséggel bírnak az elektromágneses hullámok. Ezeket a hullámokat az "Elektrodinamika" részben kell figyelembe venni. Lényeges, hogy a hullámok kialakulásához és terjedéséhez vezető különböző folyamatok sokasága esetén sokféle hasonlóság érhető el a hullámmozgás minden típusában. Tekintsük a hullámok általános jellemzőit.
Ha a hullámban lévő részecskék oszcillációja a szaporodás irányában történik, akkor a hullám hosszirányú, ha merőleges - keresztirányú. Meg kell jegyezni, hogy hullámmozgás esetén az oszcilláló részecskék nem mozognak a hullámmal; csak egyensúlyban vannak az egyensúlyi helyzeteikkel, és mozognak más részecskékre. A hullám típusa függ a média rugalmasságától. Folyadékok és gázok esetén a rugalmas erők kompressziós és feszültségi deformációk között jelennek meg. Ezek a deformációk hosszirányú hullám formájában is terjednek. A keresztirányú hullámok csak szilárd anyagokban fordulhatnak elő, ahol amikor egy réteg eltolódik a másikhoz képest, rugalmas erők jelennek meg, amelyek hajlamosak arra, hogy a eltolódott réteget eredeti helyzetébe (nyírási deformáció) visszaadják. Szilárd, hosszanti hullámok is létezhetnek.
Az oszcillációs forrásból kiindulva a hullámfolyamat egyre több területet fed le. A hullámfolyamatban már résztvevő térséget hullámtérnek nevezik. A hullámprocesszussal körülvett tér területét elválasztó felület, amely a rezgések még nem keletkezik, a hullámfront (vagy a hullámfront). Az azonos fázisban oszcilláló pontok geometriai helyét fázis vagy hullámfelületnek nevezzük, és a hullámfelületekre merőleges vonalakat hullámgerendeknek nevezzük. Amikor a hullám elterjed, a hullám elülső része folyamatosan mozog, míg a hullámfelületek álló helyzetben maradnak (az azonos fázisban oszcilláló részecskék egyensúlyi helyzetében haladnak). A hullámfront alakja megegyezik a hullámfelület alakjával. A hullám felületének más alakja lehet. A legegyszerűbb esetekben egy sík és egy gömb formája van. Ennek megfelelően a hullámokat laposnak és gömbölyűnek nevezik. Egy síkhullámban a hullámfelületek egymással párhuzamos síkok rendszerei, és egy gömb alakú hullámban egy koncentrikus gömbök rendszere. Minden olyan hullám, amely nagy távolságot tett a forrástól, gömbölyűnek és nagyon nagy lakásnak tekinthető. Ha a hullámot a forrásnál jóval nagyobb távolságokon vesszük figyelembe, akkor a forrás pontforrásnak tekinthető. Ezért feltételezhetjük, hogy a gömbhullámokat egy pontforrás rezgései generálják.
A rezgések szaporítása egy térbeli pontról a másikra nem történik azonnal, de mindig véges sebességgel megy végbe, attól függően, hogy milyen tulajdonságú a tápközeg, amelyben a hullám elterjed. Ezt a sebességet a hullámterjedési sebességnek nevezzük.
Nézzünk egy meghatározott nagyságú oszcillációkat, amelyek egy meghatározott irányba terjednek, és amelyet X tengelyként veszünk fel. Az érték lehet elasztikus közeg részecske egyensúlyának pozíciójából való eltolódása, a rugalmas közeg valamilyen helye stb. Mivel a hullámfolyamat mind térben, mind időben alakul ki, ellentétben az oszcillációs folyamattal, amelyet az idő függvénye ír le, a hullámfolyamatot a koordináták és az idő függvényében kell leírni. A vizsgált esetben az érték az x koordinátának és az idő t függvénye. Tegyük fel, hogy egy adott pontban az érték idővel változik (oszcillál) egy adott törvénynek megfelelően. Ezután más pontokon az érték ugyanazokon az értékeken halad át, mint a ponton. de bizonyos késleltetéssel, amit a hullámterjedés sebességének v határoz meg és az x koordinátát. Ez azt jelenti, hogy az x oszlopban az érték oszcillációi ugyanazon a törvényen alapulnak, mint a pontnál, de ezek az oszcillációk az oszcilláció mögött egy ponton olyan időtartam alatt maradnak, mint az x távolság hullámának áthaladásának időpontja. Ezért az érték az x pontban az időben. azaz ugyanaz lesz, mint egy adott időpontban
Amint látjuk, az érték nem függ az x koordinátától és az időtől, hanem a kombinációjától. Ellenőrizzük, hogy az ilyen típusú funkciók valóban leírják-e az űrben propagáló folyamatot. Ha egy folyamat során a függvény által jellemzett folyamat távolról mozog, akkor a függvénynek az adott időpontban lévő értékének meg kell egyeznie az időpontban megadott x értékével. Tény, hogy
Meghatározzuk a függvény (7.1) argumentumának egy bizonyos értékét az időperiódusban, azaz. Ezután beállítjuk a egyenlet Ez a sík merőleges az X tengellyel Így a függvény (9.1) egy olyan sík hullám, és a képlet az úgynevezett síkhullámú vagy egy sík hullám Ő írja le egy hullám terjesztő a pozitív irányba X. hullámok szaporító negatív irányban a X tengely lehetséges ha a (9.1) képletben a v helyett v-v:
Közvetlen helyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy a függvények (9.1.) És (9.2) megfelelnek-e az egyenletnek
A (9.3) és (9.4) egyenleteket hullámegyenletnek nevezzük. Ezek a lineáris részleges differenciálegyenletek a második sorrendben. Ezek az egyenletek teljesülnek minden sík hullámnál. A (9.2) egyenlet nemcsak a funkciók, hanem azok összege is kielégítõ lesz
Legyen meggyőződve erről. Ezt az egyenletet formában ábrázoljuk
Új változókat mutatunk be
Az új változók származékait a komplex funkció megkülönböztetésére vonatkozó standard szabályok szerint fejezzük ki:
Az új változókban a (9.10) egyenletnek megvan a formája
Mivel a # 956; nulla, nem függ ez a változótól, ezért csak az s változó bizonyos függvénye:
Integráljuk ezt az egyenletet:
Az első kifejezés a jobb oldalon csak a változó függvénye, amelyet a második kifejezésnek, az integrációs állandónak nevezünk. Nem függ attól, hogy tehát csak egy változó függvénye legyen # 956; .
Megállapítottuk, hogy a hullámegyenlet (9.7) megoldása a következőképpen alakul:
Visszatérés az előző x és t változókra. mi lesz
amely egybeesik a (9.5) kifejezéssel. Ezért a forma (9.5) függvénye a hullámegyenlet (9.4) általános megoldása. Nincs más megoldás erre az egyenletre.
Fordítottja is igaz: ha ez az érték elosztva tér formájában síkhullámok v sebességgel bármilyen fizikai mennyiség függ a pozíció és idő, hogy annak másodrendű parciális deriváltak ezeket a változókat teljesíti a (9.2).