Compact space, kiadvány a "Young Scientist" folyóiratban
A készlet borítója a részhalmazainak egy olyan családja, amellyel. Abban az esetben, ha van egy topológiai tér, ezt a burkolatot a tér nyílt (zárt) borításának nevezik, ha az összes készlet nyitott (zárt).
Fogalommeghatározás 1. A topológiai térről azt mondják, hogy kompakt. ha mindegyik nyitott burkolatából megkülönböztethetünk egy véges burkolatot.
A Hausdorff kompakt tereket compacta-nak nevezik.
Meghatározás 2. A pontot egy készlet határértékének nevezzük, ha minden pont szomszédsága végtelenül sok pontot tartalmaz a készletben. A pontot egy készlet teljes felhalmozódásának nevezik, ha a készlet minden szomszédságában egyenlő.
Opredelenie3. A topológiai tér számszerűen kompakt méretű. ha mindegyik megszámlálható nyitott burkolatából kiválaszthat egy véges burkolatot.
1. tétel. A topológiai tér megszámolhatóan kompakt, ha és csak akkor, ha minden végtelen részhalmaznak van egy határpontja.
Bizonyítás. Szükségszerűség. Tegyük fel, hogy létezik olyan végtelen részhalmaz, amely nem rendelkezik határértékekkel. Ismeretes, hogy minden készlet korlátozatlan pontok nélkül zárva van. Ezért a készülék nyitva van. Mivel a készlet zárt és nincs határpontja, minden pontnál létezik olyan szomszéd, amely egyetlen ponton metszi a készletet. Egy véges burkolat megkülönböztethető egy megszámlálható burkolattól. Ezután a készlet pontokat tartalmaz. Fokozatosan sok pontot tartalmazó ellentmondást kaptunk.
Megfelelősége. Tegyük fel az ellenkezőjét. Létezik egy számítható nyitott burkolat a térből, amelyről nem lehet megkülönböztetni a véges burkolatot. Ezt mindenki számára feltételezhetjük. Minden különbségtől pontot és pontot választunk. Legyen tetszőleges hely a térben. Akkor a pont a burkolat bizonyos elemeiben rejlik. A készlet olyan pont szomszédsága, amely metszi egy olyan készletet, amelynek legfeljebb egy pontja van. Így egy végtelen készletnek nincs határpontja. Összefüggést kaptunk. Ezzel kiegészül a 6.1 Tétel bizonyítéka.
Opredelenie4. A topológiai területet finit módon kompaktnak nevezik. ha mindegyik nyitott borítójától meg lehet különböztetni egy megszámlálható fedőréteget.
Példa 1. Legyen - a szokásos topológiával rendelkező számszerű vonal finom kompakt, de nem kompakt tér.
Állítás 1. Végül kompakt térben minden rendszeres kardinalitásnak megszámlálhatatlan sorozata teljesen felhalmozódott.
Bizonyítás. Tegyük fel az ellenkezőjét, hogy létezik olyan megszámlálhatatlan rendszeres kardinalitás, amely nem rendelkezik teljes felhalmozódási pontokkal. Ezután minden pontnak van egy szomszédja, amely metszi a készletet a teljesítménykészlet tekintetében. A térburkolatok közül választhat egy számítható alátétet. Következésképpen a készlet képviselhetõ a kardinalitás-készletek számozott összegeként, ami ellentmond a szabályosságnak és az elszámolhatatlanságnak. Az 1. kijelentés bizonyított.
2. tétel. A topológiai tér kompakt, ha és csak akkor, ha minden végtelen részhalmaza teljesen felhalmozódott.
Bizonyítás. Szükségszerűség. Legyen egy kompakt tér. Ezután az 1. megjegyzéssel a tér végül kompakt tér. Az Assertion 1-gyel minden tér végtelen részhalmaza teljes felhalmozódással jár.
Megfelelősége. Legyen egy tér végtelen részhalmaza a teljes felhalmozódás pontjával, vagyis a szekció minden pontján, és pontosan egyforma. Ez azt jelenti, hogy a pont a készlet határpontja. Mutassuk meg, hogy van egy kompakt tér. Tétel 3. Legyen Tikhonov tér. majd
.
Alapvető kifejezések (automatikusan generált). teljes felhalmozási végtelen részhalmaza topologikus tér, limit pontot, a teljes felhalmozási pont, végtelen részhalmaza tér véges subcovering, nyitott fedél, kompakt tér, a teljes felhalmozási készletek, kompakt tér, a teljes felhalmozási pontot, a beállítási pontok, végtelen sok, topologikus tér, korlátozza egy sor pontja, egy sorpont szomszédsága, egy készlet határértéke, amely egy szabályos kardinalitást tartalmaz.