Mathcad-útmutató a magasabb matematikához
Differenciálegyenletek megoldásához a Mathcad a felhasználó számára egy beépített függvénykönyvtárat biztosít a Differenciál egyenlet megoldásához. a differenciálegyenletek számszerű megoldására szánták.
- Beépített funkciók a Cauchy-probléma és a határérték-problémák megoldásához rendes formájú egyenértékű rendszerek számára.
- Az odesolve függvény az alak egyenleteire megoldást nyújt
(x) y (n) + F (x, y, y ', y (n-1)) = f (x)
a Cauchy-probléma
y (x0) = y0. y '(x0) = y0,1. y '' (x0) = y0,2. y (n-1) (x0) = y0, n-1
vagy a legegyszerűbb határérték probléma
y (k) (a) = ya, k. y (m) (b) = yb, k. 0<= k<= n-1, 0<= m<= n-1 . - Az odesolve függvény egy fix lépéssel oldja meg a Runge-Kutta-módszer által okozott problémát. A probléma megoldása a Runge-Kutta módszerrel automatikus lépésválasztással, a jobb oldali egérgombbal kattintson a munkanapon a funkció nevével, és válassza az Adaptive lehetőséget a felbukkanó menüből.
- A függvényre való hivatkozásnak van a formája
Y: = odesolve (x, b, lépés) vagy Y: = odesolve (x, b).
ahol Y a megtalált megoldás értékét tartalmazó függvény neve, x az integrációs változó, b az integrációs intervallum vége, a lépés az egyenlet Runge-Kutta módszerrel való integrálásához használt lépés. - Az odesolve függvény elérése előtt meg kell adnia a megadott kulcsszót. majd adja meg az egyenletet és a kezdeti vagy határfeltételeket. Amikor az egyenletet és a probléma körülményeit beírjuk, egy szimbolikus szimbólumot használunk (
+<=> ), és a származékok származtatásához mind a differenciálódási operátort, mind a származék jeleit használhatjuk, például a második származékot formában vagy y '' (x) formájában lehet bevinni. Ebben az esetben le kell írni a kívánt függvény argumentumát. - A megoldási értékek nyomtatásához az integrációs intervallum bármely pontján csak zárójelben adja meg az Y funkció nevét, adja meg az argumentum értékét és az egyenlő jelet.
- A megoldás értékeit az integrációs intervallum bármelyik pontján további számításokban lehet használni, elegendő az Y függvény nevének megadása a megfelelő helyen, jelezve a zárójelben lévő argumentum értékét.
Az odesolve függvény használatára vonatkozó szabályokról az Integrált Mathcad hivatkozás az Áttekintés fnd Tutorials részben olvasható.
1. példa. A Cauchy-probléma megoldása az odesolve függvénnyel.
2. példa Határprobléma megoldása az odesolve függvény használatával.
A beépített Mathcad funkciók a Cauchy-probléma megoldásához és a határproblémákhoz a normál és a szokásos differenciálegyenleteket oldják meg. A magasabb rendű egyenletek problémái csökkentik a normál c és cm megfelelő problémáit.
A Cauchy-problémát tekintjük:
ahol a kívánt megoldás a kiindulási körülmények vektora, és a jobb oldali vektor vektora, a differenciálegyenletek rendszert vektoros formában írjuk:
A Mathcad-ban megoldhatja a Cauchy-problémát egy ilyen rendszerhez az alábbi funkciók használatával:- rkfixed (y, x1, x2, n pont, D) a Runge-Kutta-módszer állandó szegmensben a probléma megoldása;
- Az Rkadapt (y, x1, x2, pontok, D) a Runge-Kutta-módszerrel a szegmens problémájának megoldása automatikus lépésválasztással;
- rkadapt (y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, save) - a probléma megoldása egy adott ponton a Runge-Kutta módszerrel, automatikus lépésválasztással;
- Bulstoer (y, x1, x2, n pont, D) a probléma megoldása a Bulirsch-Stehr-módszerrel;
- A Bulirsch-Stehr-módszer egy adott ponton a probléma megoldása (y, x1, x2, acc, npoints, D, kmax, save).
- Stiffr (y, x1, x2, acc, D, J) a megoldás a probléma a merev rendszerek egy intervallum segítségével Rosenbrock algoritmus;
- stiffr (y, x1, x2, acc, D, J, kmax, mentés) megoldások merev rendszerekhez egy szegmensen a Rosenbrock algoritmust használva;
- A Stiffb (y, x1, x2, acc, D, J) a Bulirsch-Shter algoritmust használó intervallum merev rendszerekre vonatkozó problémájának megoldása;
- stiffb (y, x1, x2, acc, D, J, kmax, ment) - a merev rendszerekhez adott problémák megoldása egy adott ponton a Buliersch-Shter algoritmussal.
Az összes funkció paramétereinek jelentése ugyanaz, és a probléma matematikai megfogalmazása határozza meg:
y az eredeti körülmények vektorának ,;
x1. x2 a rendszerintegrációs intervallum kezdeti és végpontja; azoknál a függvényeknél, amelyek az adott ponton kiszámítják az oldatot, x1 a kiindulási pont, x2 a megadott pont;
npoints - a csomópontok száma a szegmensben [x1, x]; amikor egy probléma egy intervallumban megoldódik, az eredmény n + 1 sorot tartalmaz;
D a jobb oldali oldalak vektor-értékű D (x, y) függvényének neve ,; (a D származék - a származékból - a származék, a vektor neve, amely tartalmazza a kívánt megoldás származékait);
J az n x (n + 1) dimenzió mátrixértékű J (x, y) függvényének a neve. ahol az első oszlopban a részleges származékok kifejezései a rendszer jobb oldali x-jéhez képest tárolódnak, és a fennmaradó n oszlopok a jobb oldali Jacobi mátrixot tartalmazzák:
.
acc egy olyan paraméter, amely szabályozza a megoldás hibáját, amikor az integrálási lépést automatikusan kiválasztják (ha az oldat hibája meghaladja az acc értéket, akkor a rács lépés csökken, a lépés addig csökken, amíg az érték kevesebb lesz);
kmax - azon rácscsomópontok maximális száma, amelyeken a szegmens problémájának megoldása kiszámítható, a sorok maximális száma az eredményben;
kivéve - az egyenetlen háló lépés legkisebb megengedett értékét.
A függvény eredménye n + 1-et tartalmazó mátrix; az első oszlop tartalmazza a rács csomópontok koordinátáit, a második oszlopot - a grid csomópontok y1 (x) megoldásának számított hozzávetőleges értékeit, (k + 1) -th - az yk (x) megoldást a rács csomópontokban.
Az elsőrendű differenciálegyenlet Cauchy-problémájának megoldásakor az összes fenti függvény számításainak eredménye egy mátrix, amelynek első oszlopa tartalmazza az x0 rácspontok koordinátáit. x1. Xn. és a második - a hozzávetőleges megoldás értékeit a megfelelő csomópontokban.
3. példa A Cauchy-probléma megoldása az első rendű ODE-khez az rkfixed függvénygel.
4. példa. A Cauchy-probléma megoldása a 2. rendű ODE-khez az rkfixed függvény használatával.
5. példa A Cauchy-probléma megoldása az elsőrendű ODE rendszerhez, az rkfixed funkcióval.
6. példa. A merev Cauchy-probléma megoldása az 1-es ODE rendszernek a Stiffr funkció segítségével.
A másodrendű differenciálegyenletek önálló rendszereinek tanulmányozása során hasznos információk nyerhetők a rendszer integrális és fázis görbéinek figyelembe vételével.
A másodikrendű differenciálegyenletek autonóm rendszereinek tanulmányozása során hasznos információkat nyerhetnek a megoldások tulajdonságairól a rendszer vektortérképezésével.
Írjuk le a másodrendű autonóm rendszert
Ezt a rendszert teljesen meghatároztuk egy vektor mezõ meghatározásával, mivel a vektor mezõ minden ponton meghatározza a rendszer fázisdiagramjához tartozó érintõ irányát ezen a ponton.