Affin transzformációk meghatározása (p.
Affin transzformációk meghatározása
Beszéljünk a nyújtásról és a lapos formák összenyomásáról.
Ha egy kör mentén húzódsz egy bizonyos irányba, helyi görbét kapsz - ellipszis.
Ha a négyzetet párhuzamos irányban húzza ki, akkor egy téglalapot kap. Ha a négyzetet átlós vonal mentén húzta vagy szorította, akkor rombuszot kap.
De mi a nyújtás és a tömörítés? Hogyan határozható meg szigorúan?
A megnyújtás és összehúzódás, amelyekről bizonyos értelemben beszélni fogunk, egységesek.
Ez az egyenletesség azt jelenti, hogy a sík minden darabja ugyanúgy kibővül (zsugorodik).
Ezenkívül, amikor a négyzetet megnyomjuk (összenyomjuk), a szegmensek szegmensek maradnak.
Az ilyen egyenletes kiterjesztéseket (összehúzódásokat) affin transzformációknak nevezzük.
Egy sík átalakítását affine-nek nevezik. ha egyéni, és a vonal bármelyik vonala egy vonal. Az átalakulás egy-egynek mondható. ha eltérő pontokat vesz fel a különböző pontokhoz, és egy pont minden pontra halad.
Emlékezzünk rá, hogy egy átalakítás egy készlet feltérképezése önmagára. A leképezést egy-egy-egynek (bijektívnak) nevezik, ha különböző elemek különbözőekké válnak, és minden egyes elemhez valamilyen elem megy.
Az affin transzformációk egy konkrét esete egyszerűen a mozgások (tömörítés vagy kiterjesztés nélkül). A mozgások párhuzamos elválasztások, forgatások, különböző szimmetriák és azok kombinációi.
Az affin transzformációk másik fontos esete a nyújtás és összehúzódás egyenes vonalhoz képest.
Az 1. ábra a sík különböző mozdulatait mutatja be a rajta lévő házzal. A 2. ábra a sík különböző affin transzformációit mutatja be.
1. ábra. Példák mozgásokra.
2. ábra: affin transzformációk példái.
Jelöljük a sík mozgásának halmazát, és az affin transzformációk készletét. Ezután a következő állítás igaz.
A mozgások halmaza az affin transzformációk halmazának egy részhalmaza.
Ez nyilvánvalónak tűnik. Értsük meg, mit kell igazolnunk. Ehhez újra meg kell vizsgálnunk a mozgás és az affin transzformációk meghatározását. Szükséges bizonyítani, hogy minden mozgás megegyezik. Ez azt jelenti, hogy meg kell mutatni, hogy amikor különböző pontokat mozgatunk, különböznek egymástól, és bármelyik vonal képe egyenes vonal.
Intuitíve világos - a mozgás során a számok egyáltalán nem változtatják meg alakjukat és méretüket, de csak a síkon változtatják meg helyzetüket. Továbbá az egyenesek megtartják alakjukat - egyenesen maradnak. Mozgás lehet gondolni, mint mozgó egy darab papírt egy minta az asztalon. Mozgás közben különböző pontok különböznek egymástól, mivel a távolságok megmaradnak. Ha a pontokat "távolítják el" bizonyos távolságra, akkor a mozgás után ugyanolyan távolságban lesznek "osztva".
[szerkesztés] Nyújtás és összehúzódás
Meghatározás 3.Rastyazheniem sík képest egy vonal nevű transzformációs együttható síkban, ahol minden egyes pont lesz egy pont úgy, hogy a távolság a sor, hogy időnként több, mint egy pont és egy nyúlvány pont és egy egyenes vonal egybeesik. Ha az együttható pozitív, akkor az u pontok az egyenes egyik oldalán helyezkednek el, ha a negatív eltérő.
3. ábra. A kompresszió és a nyújtás viszonylag egyenletes.
Bizonyítsuk be, hogy a vonalhoz viszonyított nyúlás (összehúzódás) egy affin transzformáció. Először is, ez az átalakulás egy-egy. Ennek bizonyításához megjegyezzük, hogy minden egyes tömörítésnél van egy szakasz, amely minden pont visszatér a helyükre, és fordítva, minden egyes kiterjesztésnél van egy tömörítés, amely mindent visszaad a helyére. És most használjuk a tételt:
Ha az átalakulás visszaáll az átalakulásba, és az átalakulás visszaáll az átalakuláshoz, akkor az egy-egy átalakítás is.
Egy transzformációt inverznek nevezünk egy transzformációra, ha az átalakulás után alkalmazott transzformáció minden pontot helyére helyezi vissza. Ha az átalakítás egy pontra mutat egy pontot, akkor az inverz transzformáció átalakítja a pontot egy pontra.
A vonalhoz viszonyított nyújtás (összehúzódás) affin transzformáció.
Továbbra is megmutatjuk, hogy a kontrakció és a kiterjesztés egyenes. Hagyja, hogy a nyújtás viszonylag egyenletes legyen. Irányítjuk a tengely mentén. Vigyázzon minden sorra. Két lehetséges eset van.
1) Ha metszi, akkor a tengely merőleges metszéspontján keresztül húzódik. Ezután az egyenes egyenlete úgy fog kinézni:
Egy egyenes vonallal (tengely) viszonyítva, egy koefficienssel szemben, a pont a pontig megy:
nyújtás az "X" tengelyhez képest.
A vonal pontja a koordináták pontjáig megy. Tehát az új pontok koordinátái megfelelnek az egyenletnek
A nagy mennyiség miatt ez az anyag több oldalra kerül:
1 2 3 4 5