Konjugációs osztály
A G csoport g 1> és g 2> elemeit konjugátumnak nevezzük. ha létezik h ∈ G elem. amelyre h g 1 h - 1 = g 2 h ^ = g_>. A konjugáció egy egyenértékűségi viszony. és ezért G-t egyenértékű osztályokba osztja. ez azt jelenti különösen, hogy a csoport minden eleme pontosan egy konjugációs osztályba tartozik, és az [g 1]] és [g 2]]> osztályok egybeesnek, ha és csak akkor, ha. ha g1> és g2> konjugáltak, és nem metszenek másként.
- A konjugációs osztályok a csoport hatásának pályáján is meghatározhatók önmagukban a (M) = g m g - 1> [1] képlet szerinti konjugációkkal.
- A semleges elem mindig saját osztályát alkotja [e] =
> - Ha G abel. akkor ∀ g. h ∈ G g h g - 1 = h \ ghg ^ = h>. így [g] =
> a csoport minden eleméhez. - Ha két g 1> és g 1> G elem ugyanabba a konjugációs osztályba tartozik, akkor ugyanaz a sorrendjük van.
- Általánosabban, minden g ∈ G elemre vonatkozó π (g) csoport-teoretikus állítás egyenértékű egy h ∈ [g] elemre vonatkozó állítással. mivel az x → x g x - 1 konjugáció a g ∈ G automorfizmusa.
- Egy g ∈ G elem a Z (G) középpontjában található, ha és csak akkor, ha konjugációs osztálya egyetlen elemből áll: [g] =
>. - Általánosabban: a Z G (g) (g)> alcsoport indexe (az adott g elem központosítója megegyezik az [g] konjugációs osztály elemeinek számával (az orbitális stabilizációs tétel által).
- Ha g1> és g2> konjugált, akkor g 1 k> és g 2 k> fokuk konjugált.
- Minden g ∈ G elem esetében a konjugációs osztály [g] elemei a Z G (g) (g)> centralizáló zónáinak felelnek meg egy-egy egyező levelezésben. Valóban, ha h 1 ∈ [h 2] \ in [h _]>. akkor h 1 = h 2 z = h_z> néhány z ∈ Z G (g) (g)> esetén. amely ugyanazon konjugált elemhez vezet: h 1 gh 1 - 1 = h 2 zg (h 2 z) - 1 = h 2 zgz - 1 h 2 - 1 = h 2 zz - 1 gh 2 - 1 = h 2 gh 2 - 1 gh _ ^ = h_zg (h_z) ^ = h_zgz ^ h_ ^ = h_zz ^ gh _ ^ = h_gh _ ^>. Különösen:
- Ha G egy véges csoport. akkor a [g] konjugációs osztályban lévő elemek száma a centralizáló index [G. ZG (g)] (g)]>.
- Az egyes konjugációs osztályok sorrendje a csoport sorrendjének osztója.
- A csoport sorrendje az összes konjugációs osztályból a kiválasztott képviselő g i> központizátorainak indexeinek összege: | G | = Σ i [G. Z G (g i)]> [G: Z_ (g_)]>. Figyelembe véve azt a tényt, hogy a Z (G) csoport centralizálója konjugációs osztályt alkot egyetlen elemből (önmagában), ez a kapcsolat, amelyet a konjugációs osztály egyenletnek nevezünk [2]. a következőképpen íródik: G | = | Z (G) | + Σ i [G. ZG (g i)]> [G: Z_ (g_)]>.
- Tegyük fel például, hogy egy véges p-csoportot kapunk (vagyis olyan p n csoportot tartalmazó csoport, ahol p prímszám és n> 0). Mivel a konjugációs osztály sorrendjében meg kell osztani a csoport sorrendjét, minden H i konjugációs osztálynak ugyanolyan rendje van, mint a p k i >> (0
), majd a konjugációs osztályok egyenletéből következik:
- A lineárisan összekapcsolt topológiai tér alapvető csoportjában lévő konjugációs osztályok a szabad homotopiás szabad hurkok ekvivalenciaosztályainak tekinthetők.
Változatok és általánosságok
Az S ⊆ G tetszőleges részhalmaza (nem feltétlenül alcsoportja) egy T ⊆ G részhalmazt azt mondják, hogy konjugált S-nek. ha van egy g ∈ G elem. hogy T = g S g - 1>. Ebben az esetben az [S] konjugációs osztály az összes T ⊆ G alcsoport. úgy, hogy minden T egy S. konjugátum.
A tételt széles körben alkalmazzák, amely szerint az S (S) bármelyik részhalmaza esetében az N (S) normalizáló halmazának indexe megegyezik az [S] konjugációs osztály sorrendjével:
Az alcsoportok konjugációs osztályokra oszthatók úgy, hogy két alcsoport ugyanazon osztályba tartozik, ha és csak akkor, ha konjugált. A konjugátum alcsoportok izomorfok. de az izomorf alcsoportoknak nem kell konjugálódniuk. Például egy abeliai csoport két különböző izomorf alcsoportot tartalmazhat, de soha nem fognak konjugálódni.