2 Négyzetes mátrix
Már megjegyeztük, hogy nem lehet két mátrixot hozzáadni vagy szorozni, mivel ilyen műveletekhez szükség van a sorok és oszlopok közötti ismert kapcsolatokra. Ez a kellemetlenség eltűnik, ha csak néhány fix rendű n négyzetes mátrixot vesszük figyelembe. Bármely két ilyen mátrixot meg lehet szaporítani, vagy megszorozni, és ennek eredményeképpen ismét ugyanazt a sorrendű négyzetes mátrixot kapjuk.
A négyzetes mátrixok között különös szerepet játszik az E mátrix, amelynek összes átlója 1-nek felel meg, a fennmaradó nullára pedig az azonosító mátrix. Így az E mátrixnak van az alakja
Közvetlen számítással kimutatható, hogy bármely A,
amely kifejezi az E. mátrix alapvető tulajdonságait. Azt is megjegyezzük, hogy az n dimenzió (a-vektor-sor) bármelyik oszlopvektorához egyenlők
Az A kvadratikus mátrix invertálható, ha létezik X-et tartalmazó mátrix
Ezt a feltételeket kielégítő X mátrixot az A mágneses inverzre vagy az A mátrix inverzére utaló mátrixnak nevezzük. Megjegyezzük, hogy ha a mátrix inverziója létezik, akkor egyedülálló. Valójában, ha létezik egy második inverzió Y-val, akkor a
X = XE = X (AY) = (XA) Y = EY = Y
ebből következik, hogy X = Y.
Az A mátrix inverzióját, ha létezik, az A-1 jelöli, így definíció szerint
AA = 1 = A-1 A = E.
A n n u n n t á n n a n g n e n n e n g e n d. T (z) -el jelöljük a mátrixot, amely csak abban különbözik az azonosságtól, hogy az átló diagnózisának i-es helyén, azaz az i. És az i oszlopban 1 helyett. számot. Az eredmény terméket Tii mátrix () által hagyott az A mátrix egy olyan mátrix Tii () A, ahol az A mátrix csak a vonalat szám i. A kapott mátrix i sorában elemek formájában aij (J = 1 n), m. F. I. sor elemeit A mátrix szorozni a szám . Ezért a "A" mátrix balról való elmozdításával a Tii (z) mátrixot "egy sor sorszámozásának műveletével" nevezzük.
Példa Példa. enged
Legyen Ti j () (iunnusj) olyan mátrix, amely az azonosító mátrixtól csak az i. És a j oszlop egyik elemét jelenti. Az egységmátrixban ezen a helyen nulla, a Ti j () mátrixban van egy szám . A (Ai) mátrix az A mátrixtól csak az i számmal jelölt sorban különbözik. Ennek a vonalnak az elemei az ai k + aj k (k = 1. n) alakúak, azaz az i. szorozva egy számmal . Ezért az A mátrix bal oldaláról a Tij (z) mátrixszorozást "sorok hozzáadása műveletnek" nevezzük.
Példa Példa. Tekintsük az A mátrix szorzását az előző példából a T23 mátrix (2) segítségével.
Tegyük fel, hogy az A mátrix átlós formába redukálható sorok hozzáadásával és sorszámozással történő számozásával. Ezután ugyanazt a műveletsorrendet alkalmazva az azonosító mátrixra fordított mátrixot kapunk.
Valóban, ez a műveletsorozat alkalmazása az A mátrixra termékként írható
az identitásmátrix tulajdonságait használva megkapjuk
Az utolsó egyenlőség azt jelenti