Az algebrai problémák összegyűjtése
SQUARE THREE COLLECTION III
53. § A négyzetes egyenlet gyökereinek jeleinek vizsgálata az együtthatókra vonatkozóan
Viet tételének segítségével az x 2 + px + q = 0 egyenlet megoldása nélkül meghatározhatjuk, hogy mi lesz a gyökere: pozitív vagy negatív. Természetesen biztos lehet benne, hogy a vizsgált egyenletnek gyökere van. Ha nincs gyökere, akkor értelmetlen a gyökerek jeleiről beszélni. Ezért ebben a részben feltételezzük, hogy a x 2 + px + q = 0 csökkentett kvadratikus egyenlet gyökerei vannak, vagyis a diszkriminancia nem negatív.
1) Tegyük fel, hogy q> 0; akkor mindkét gyökér ugyanazokkal a jelekkel rendelkezik, mivel x1 • x2 = q> 0.
Ha ezenkívül, p <0, то x1+ х2 = — р> 0, akkor mindkét gyökér pozitív.
Ha p> 0, akkor x1 + x2 = - p <0, и тогда оба корня отрицательны.
Abban az esetben, ha p = 0, az egyenletnek nincs valódi gyökere, mert a két pozitív vagy két negatív szám összege nem lehet nulla.
2) Tegyük fel most, hogy q <0. Тогда один из корней должен быть положительным, а другой — отрицательным, поскольку x1• х2 = q <0.
Ha p> 0, akkor x1 + x2 = - p <0, и, значит, абсолютная величина отрицательного корня больше положительного корня.
Ha p <0, то x1+ х2 = — р> Ez csak akkor lehetséges, ha a pozitív gyökér nagyobb, mint a negatív gyökér abszolút értéke.
Ρ = 0, x1 + x2 = 0, ahonnan x1 = -x2, ebben az esetben a gyökerek abszolút értékben egyenlők, és ellentétesek a jelben.
3) Még mindig meg kell vizsgálni az esetet, amikor q = 0. Ezután x1 • x2 = 0, ezért legalább egy gyökér nulla.
A definiteness legyen x1 = 0, akkor egy másik gyökér található az x1 + x2 = -p állapotból. ahonnan x2 = -p. Ezért ebben az esetben egy gyökér nullával egyenlő, a másik pedig a p együtthatóval szemben.
Ha p = 0, akkor az egyenletnek van. két egyenlő gyökér: x1 = x2 = 0.
A gyökérjelek vizsgálatának eredményeit a táblázat tartalmazza.
Ismét megjegyezzük, hogy az itt bemutatott érvek csak abban a feltevésben igazak, hogy a vizsgált egyenletnek valódi gyökerei vannak, vagyis a diszkrimináns nem negatív.
Tekintsünk néhány példát a négyzetes egyenletek gyökereinek feltárására.
1) x 2 - 8x - 9 = 0. Az egyenlet diszkriminansa D = 64 + 36 = 100> 0. Ezért az egyenletnek két különböző tényleges gyökere van.
Mivel az x1 • x2 = - 9, a gyökerek különböző jelekkel rendelkeznek,
és mivel x1 + x2 = 8, a negatív gyökér abszolút értéke kisebb, mint a pozitív gyökér.
2) x 2 + 7x + 10 = 0. Az egyenlet diszkriminansa D = 49 - 40 = 9> 0. Ezért az egyenletnek két különböző tényleges gyökere van.
Mivel x1 • x2 = 10> 0, a gyökerek ugyanazokkal a jelekkel rendelkeznek.
Ezenkívül x1 + x2 = -7, akkor mindkét gyökér negatív.
3) x 2 - x + 1 = 0. Az adott egyenlethez
D = (-1) 2 -4 = -3 <0.
Következésképpen ez az egyenletnek nincs valódi gyökere. A fenti eredmények csak a csökkentett kvadratikus egyenletekre utalnak. Ugyanakkor hasonló vizsgálatok elvégezhetők minden olyan kvadratikus egyenlethez, amely ax 2 + bx + c = 0. Ehhez először, azáltal, hogy egy a-val osztjuk el, csökkentenünk kell ezt az egyenletet az x 2 + b / aX + c / a = 0 csökkentett kvadratikus egyenletre, majd végezzük el a fenti érveket ehhez az egyenlethez.
Például, vizsgáljuk meg a -3x 2 + 5x-2 = 0 egyenlet gyökereinek jeleit. Ennek az egyenletnek a diszkriminansa D = 25 - 24 = 1> 0. Ennek megfelelően két különböző valós gyökere van.
Az egyenlet mindkét oldalát három-három részre osztjuk: x 2 - 5 / 3x + 2/3 = 0. Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek a gyökerei ugyanazokkal a jelekkel rendelkeznek, mivel x1 • x2 = 2/3> 0. Ezen kívül x1 + x2 = 5/3> 0. Következésképpen mindkét gyökér pozitív.
Anélkül, hogy megoldaná ezeket az egyenleteket (391-400), határozza meg gyökerei jeleit:
Ellenőrizze magát, és általánosságban megvizsgálja a négyzetes egyenleteket teljes és csökkentett módon, a megfelelő algoritmusokat használhatja az EXCEL programban. Az algoritmus javítható a számítások köztes eredményeinek megjelenítéséhez.
401. Mekkora értékei az egyenlet gyökereit
ugyanazok a jelek és milyen különbségek vannak?
402. Mekkora értékek az egyenlet gyökerei