A radioaktív bomlás törvényei
Keressük meg egy radioaktív mag felbomlási valószínűségét egy t időintervallum alatt. ha a bomlási állandója ismert # 955;
A megoldás. Tegyük fel, hogy a t = 0 időpontban a mag megbízhatóan létezik. Ezután a t = t 'idő (2.1.1. Ábra) két lehetősége van:
1) a mag nem tapasztalt radioaktív bomlást, és ennek az eseménynek a valószínűsége q (t ');
2) a mag csökken és ennek az eseménynek a valószínűsége p (t ').
mert nincs harmadik lehetőség.
Gondoljunk rá, hogy mi a nukleáris bomlás valószínűsége egy infinitezimális időintervallum fölött. ha a rendszermag nem szétesett az előző időben t '. Ez az esemény összetett (lásd a 2.1.1. Ábrát). Az a valószínűség, hogy mindkét esemény bekövetkezik
ahol # 955; dt a bomlás valószínűsége a dt időintervallum alatt. A 2.1.1. Pontból következik, hogy dp (t ') = -dq (t'). Ezt a helyettesítést (2.1.2) a differenciál egyenletet kapjuk a q (t ') megtalálásához:
A nyilvánvaló kezdeti állapot q (t = 0) = 1, azt találjuk, hogy annak valószínűsége, hogy a mag nem tapasztalja a bomlás egy adott időpontban
Így a (2.4) képletet kapjuk.
Nuklid 226 Ra, 238 U pedig a terméket a bomlás tartalmazott az utóbbi mennyisége egy atom per 2,80 x 10 6 atomot 238 U. Find felezési 238 U, azt tudjuk, hogy ez sokkal hosszabb felezési ideje 226 Ra, amely egyenlő 1620 év.
A megoldás. A megoldáshoz a (2.11.8) képletet használjuk az előző probléma miatt, mivel az érvényes feltételek:
,
a # 946; -Decay 112 Pd történik # 946; -aktív 112-es nuklid. A felezési ideje 21 és 3,2 óra. A 112 mg nuklid maximális aktivitásának aránya a készítmény kezdeti aktivitásához viszonyítva, ha a készítmény kezdeti időpontjában csak 112 pd nuklid volt.
A megoldás. Az "1" alsó indexrel a 112-es Pd-hez és a 112 Ag-hoz kapcsolódó "2" értékekhez tartozó mennyiségeket jelöljük. majd
; .
.
ahol N (tm) a 112 Ag nuklid atomok maximális száma, amely a tm (2.11.7) idő alatt felhalmozódik. A (2.11.6) használatával megkapjuk
.
A (2.11.7)
majd a (2.13.2) képlet alkalmazásával kiszámoljuk
.
A radionuklid lánc-transzformációnak van kitéve
(a megfelelő felezési idő a nyilak alatt van feltüntetve). Feltételezve, hogy a kezdeti időpontban t = 0 az előkészület csak 118 Cd, find
a) a magok mely része 60 perc elteltével stabil magokká alakul;
b) a gyógyszer aktivitásának hányszor 60 perc elteltével csökken.
Megoldás a). Legyen N10 az atommagok kezdeti száma, és N3 (t) a 118 Sn-t alkotó atommagok száma t időpontban.
Ezzel szemben a t idő alatt képződő 118 Sn atomok száma megegyezik a nukleinsav bomlásának számával ugyanazon időintervallumban:
,
ahol N2 (t) és # 955; 2 - a magok időben és azok bomlási állandójával való függésének függvénye. A (2.11.6) képlet segítségével megkapjuk
.
.
Az összeg # 951, és kiszámítsa magát (# 951, a = 0.7).
b) A gyógyszer t időintervallumának hatása:
.
Az összeg # 951; b kiszámolja magát (# 951; b = 1,85).
Határozzuk meg az ólom tömegét, amely 1,0 kg 238 U-ból áll, a sziklák korának megfelelő időtartammal (2,5-10 nap).
A megoldás. 206 a vége Pb és a radioaktív stabil elem a család (sor) az urán, amely a őse 238 U. Mivel a teljes időszak fele minden további hivatkozásai a család sokkal kisebb, mint a felezési ideje a magok 238 U, majd jó pontossággal lehet kiindulni, hogy a felezési idő, ami a gócképződés 206 Pb, egyenlő felezési 238 U.
A szükséges tömeg 206 Pb lesz
ahol az Np (238 U) a t időpontban 238 U bomlékony magok száma. amely végül egyenlő számú 206 Pb magot jelentett. Ha az eredetileg 238 U mag volt
.
akkor a bomló 238 U magok száma t idő alatt
Az utolsó kifejezés (2.15.1) helyettesítésével megkapjuk
M (206 Pb) = = = 0,27 kg.
Egy 27 mg-os radionuklid keletkezik, állandó sebességgel g = 5,0 × 1010 mag / másodperc. Határozzuk meg a 27 mg-os magok számát, amelyek felhalmozódnak a készítményben egy a) időintervallum után, amely jelentősen meghaladja a felezési idejét; b) egyenlő a felezési idővel.
A megoldás. Tekintsük a 27 mg-os dN-magok rövid időre történő változását:
ahol a gdt az előállított sejtmagok száma, és # 955; Ndt a bomló magok száma a dt idő alatt Ez az egyenlet az N (t = 0) = 0 kiindulási állapotba integrálva megkapjuk a (2.3) képletet:
.
a) A (2.3) határértékhez való átjutás, mivel t → ∞ hozam
A kapott eredmény meghatározza az adott körülmények között képződő 27 Mg magok maximális számát.
b) Ha t = T1 / 2. akkor a (2.3) zárójelben lévő kifejezés 1/2, és figyelembe véve az a) eredményét, megkapjuk
.
A 124 Sb radionuklid állandó sebességgel alakul ki g = 1,0 × 10 9 mag / másodperc. A felezési idő T1 / 2 = 60 nap, stabil 124 Te nuclid lesz. Találd meg a) mennyi ideig a képződés kezdete után a 124 Sb aktivitása A = 3,7 · 10 8 Bq; b) a 124Te-nuklid tömege felhalmozódott a készítményben négy hónappal a megalakulás után.
Megoldás a). A (2.3) képlet jobb és bal oldalait a bomlási állandóval szorozzuk # 955; 124-es nukliddal, akkor megkapjuk az egyenletet
.
.
b) Mivel a 124Sb nuklid egyes atomjainak bomlása a stabil nuklid 124Te atomjának kialakulásával jár együtt, a tömege a 124Sb nuklid képződés megindulása után t idő alatt megegyezik
ahol N (t) a 124 Sb nukleotidok száma, amelyek a t idő alatt bomlanak. Másfelől
,
ha az A (t) kiszámításához (2.17.1) használjuk.
MTe (tb) = Mat (124 Te) ·
.
A 138 Xe radionuklid, amelyet állandó sebességgel alakítanak ki g = 1,0 × 10 9 mag / másodperc, egy
(a felezési idő a nyilak alatt van feltüntetve). Számolja ki a hatóanyag teljes aktivitását 60 perccel a felhalmozódás kezdete után.
A megoldás. Kért tevékenység
Az A1 (t) függését a 138 Xe nuklid aktivitására a (2.17.1) képlet adja meg. A 138 Cs nuclid magok felhalmozódásának N2 (t) függőségének megállapításához meg kell oldani az egyenletet
,
ahol az N1 (t) és N2 (t) a 138 Xe és 138 Cs felhalmozódása, és N1 (t) a (2.3)
.
Ennek az egyenletnek az egyenletváltozási módszerével kapott megoldása (lásd 2.11. Feladat), N2 (t = 0) = 0 esetén az
.
Ezt a megoldást és (2.17.1) helyettesíteni (2.18.1) végül megkapjuk
.
Számítsd ki az A értékét önállóan (A = 1,4 · 10 10 Bq).