A kvadratikus egyenlet gyökereinek jele - stadopedia
Nézzünk egy ilyen problémát. Egy paraméteres kvadratikus egyenlettel kapcsolatban az egyenlet gyökereinek jeleit teljes egészében tanulmányozni kell a paraméter értékek függvényében. Itt két megközelítést alkalmazunk: az egyenlet megoldása és a Viet képletek alkalmazása. Ha az egyenlet diszkriminálója egy teljes négyzet, és a vezető együttható független a paramétertől, akkor könnyebb megoldani az egyenletet, és közvetlenül megvizsgálni a gyökérjeleket.
1. Határozza meg az egyenlet gyökereinek jeleit a paraméter függvényeként. A megoldás. Találjuk meg a diszkriminanst. Mivel a diszkrimináns egy teljes négyzet, nem nehéz megoldani ezt az egyenletet: Mindkét gyökér pozitív, ha. Mindkét gyökér negatív, ha. Ellenőrizzük a fennmaradó időközöket: a. címen. vagyis a gyökerek különböző jelek. A többi pontban mikor. a gyökerek számítanak: egy gyökér nulla, a másik pedig negatív. Azt is meg kell jegyezni, ha a gyökerek azonosak :. a többszörös gyökér egyenlő. A probléma megoldódott, de hasznos figyelembe venni a geometriai illusztrációt. A vonalakat az AOX síkban és (1. Minden információ a gyökerek a megjelölések különböző értékeket olvashatjuk a rajzon: egy adott értéket szellemileg felhívni a függőleges vonal és jelölje meg a metszéspont egyenes és. rendszereik az egyenlet gyökerei. Azáltal, egyértelműen azt mutatja, hogy ha és amikor az egyik gyökere negatív és a pozitív más, és amikor - egy negatív, a másik pedig nulla, két különböző negatív gyökerek, és - a többszörös negatív gyök. Válasz: a gyökerek és ellentétes előjelű, és amikor az egyik gyökere negatív, a másik pedig nulla, két különböző gyök negatív negatív alkalommal a gyökér.
Ha az egyenlet gyökerei irracionális kifejezések, a megjelölésük közvetlen vizsgálata túlságosan nehézkes lesz. Ezért a vizsgálatot a Vieta formulák alkalmazásával végezzük. Egy ilyen tanulmány bemutatását adjuk meg.
1) Ha a vezető együttható függ a paramétertől, akkor azt találjuk, hogy a paraméter értékei nullának számítanak. Ezeket az értékeket az egyenletbe helyezzük és megoldjuk az eredményül kapott lineáris egyenletet. Határozza meg a gyökér jeleit.
2) Megtaláljuk az egyenlet diszkriminánsát és megoldjuk az egyenlőtlenséget. Így kiderítjük, hogy a paraméterek értékei közül a gyökerek hiányoznak.
3) Tekintsük a paraméter értékét, amelyhez. vagyis a gyökerek egybeesnek. Meg kell találnunk őket, és meg kell határoznunk a jelet.
4) Tekintsük a paraméter értékét, amelyhez. Mindkét gyökér pozitív, ha és csak akkor, ha az összeg és a termék pozitív. Mindkét gyökér negatív, ha és csak akkor, ha az összeg negatív, és a termék pozitív. A gyökereknek eltérő jelzéseik vannak, ha csak termékük negatív. A Viet képletek felhasználásával összeállítjuk és megoldjuk a megfelelő rendszereket.
5) Külön kell vizsgálnunk az esetet, ha az egyik gyökér nulla. Ehhez az egyenletbe helyezzük, megtaláljuk a paraméter és a második gyökér értékét.
Gyakrabban a problémák, csak egy része az ilyen kutatásra van szükség.
2. Mekkora paramétereknél az egyenletnek két különböző pozitív gyökere van? A megoldás. Mindkét gyökér pozitív, ha és csak akkor, ha az összeg és a termék pozitív. Annak érdekében, hogy a gyökerek létezzenek, és más legyen, megköveteljük, hogy a diszkrimináns pozitív legyen. Rendszert kapunk. Válasz :.
3. Mekkora értékekhez az egyenletnek nincs pozitív gyökere? A megoldás. Amikor megkapjuk. Nincsenek pozitív gyökerek. Találjuk meg az egyenlet diszkriminánsát. Ezért, ha az egyenletnek nincs gyökerei. Mindkét gyökérnek negatívnak kell lennie, elégséges és elégséges ahhoz, hogy a következő feltételek teljesüljenek: a gyökerek összege. de a gyökerek terméke. Legyen egy rendszer. Ha egy gyökér 0, akkor nincs más gyökér. Szóval össze kell kapcsolnod a réseket. ahol nincs gyökér, rés. ahol mindkét gyökér negatív, és a 0 pont, ahol egy nulla gyökér. Válasz :.
4. Határozza meg a kvadratikus egyenlet gyökereinek jeleit. A megoldás. 1) Megfontoljuk az ügyet. Ebben az esetben lineáris egyenletet kapunk. vagyis ebben az esetben van egy pozitív gyökér. 2) Tegyük fel, hogy. Tehát hogyan. akkor nincs gyökér. 3) Mikor. egy negatív gyökér egyenletet és pozitív gyökér egyenletet kapunk. 4) Tegyük fel, hogy. Mindkét gyökér pozitív, ha. Mindkét gyökér negatív, ha a feltételek teljesülnek. A különböző jelek gyökerei, ha. 6) Legyen egy gyökér nulla. Helyettesítve az egyenletbe, kapunk. Az egyenlet maga is formát ölt. Ezért a második gyökér negatív. Válasz: a gyökereknél nincs negatív gyökér, egy gyökér negatív, a második nullával egyenlő, különböző jelek gyökereivel, gyökereivel pozitív.