Pontos négyzetes függvények és négyszögek
Legyen egy affin tér, ahol egy lineáris tér egy mező fölött.
Meghatározás: Egy affinális kvadratikus függvény egy leképezés. amelyre vonatkozóan
van egy négyzetes függvény.
létezik egy lineáris függvény. hogy az egyenlőség bármely ponton érvényesüljön.
Tegyük fel, hogy kaptunk koordinátarendszert. és a pont koordinátái. azaz a vektor koordinátáit az alapon. a négyzetes függvény mátrixa az alap és a. Kapunk
Lépjünk át egy új központtal rendelkező koordináta-rendszerre. és let - koordinálja a rendszert. Aztán. azaz . Kapunk
hol. . Arra jutunk, hogy a tisztán kvadratikus függvény nem függ az u pont kiválasztásától.
Definíció. Egy pontot az affinális kvadratikus függvény központi elemének neveznek. ha minden vektor esetében az egyenlőség tartja. Egy affinális kvadratikus függvény középpontja a központi pontjainak halmaza.
Tétel. Ha egy affinális kvadratikus függvény egy -dimenziós affin térben nem üres, akkor ez egy dimenzió sík. Abban az esetben, ha a tisztán kvadratikus rész nem degenerált, mert pontosan egy központi pont van.
Megjegyzés. Adjunk egy pont koordinátáinak négyzetes függvényét. A központ megtalálásához meg kell oldanod az egyenletrendszert.
Ha ez egy központi pont, akkor.
Legyen u legyen két központi pont. Aztán és. Ezért minden vektor esetében az egyenlõségeket u. Megkapjuk, hogy a vonal áthalad az u-n. központi pontokból áll.
Definíció. Egy affinely kvadratikus függvény központi. ha középpontja nem üres.
Tétel. Minden affinális kvadratikus függvény egy -dimenziós affin térben létezik egy kanonikus koordináta-rendszer. amelyben
. ha központi,
. ha nem központi. Itt van a pont koordinátái. Az affinális kvadratikus függvény kanonikus alakja nem függ a kanonikus alapok választásától.
Tétel. Minden egy affinális kvadratikus függvény egy -dimenziós euklideszi térben létezik egy kanonikus négyszög-koordináta-rendszer. amelyben
. ha központi,
. ha nem központi. Itt 0 $ "> és.
Definíció. Legyen egy affinely kvadratikus függvény. A quadric egy sor ilyen pont. hogy. A Quadric központi. ha ezt egy központi kvadratikus függvény adja.
Tétel. Valamennyi négyzetes esetében egy valós dimenziós affin térben létezik egy megfelelő koordináta-rendszer, amelyben a négyzetesnek az alábbi típusok egyikének egyenlete van:
. . . vagy. . ha a quadric központi;
. . . ha a quadric nem központi.
-- if. akkor egy ellipszoid,
-- if. akkor a képzeletbeli ellipszoid,
-- ha 0 $ "> és", akkor a hiperboloidok,
-- if. majd a palackokat;
-- if. akkor a kúpok,
-- if. majd kúpos palackokat;
-- if. akkor a paraboloidok (- elliptikus, egyébként - hiperbolikus),
-- if. majd egy parabolikus henger.
Tétel. Valamennyi négydimenziós valóságos euklideszi affin tér esetén létezik egy kanonikus négyszög-koordináta-rendszer, amelyben a quadricikát az alábbi típusok egyikének egyenlete adja:
. . . vagy. . ha a quadric központi;
. . . ha a quadric nem központi. Itt minden 0 $ ">.