Galois elmélete
A Galois-elmélet.
Ez azonban nem minden. Az algebrai egyenlet elméletében a leginkább figyelemreméltó dolog még mindig elmaradt. Az a tény, hogy a radikális sok egyenlet egyenlő számú részegyenlős típusai vannak, és csak olyan egyenletek, amelyek számos alkalmazásban fontosak. Ezek például a binomiális egyenletek
Abel újabb, igen széles osztályú ilyen egyenleteket talált, az úgynevezett ciklikus egyenleteket és még általánosabb "abeliai" egyenleteket. Gauss, az iránytűvel és a szabályos sokszögek uralkodójával kapcsolatos probléma kapcsán részletesen megvizsgálja az úgynevezett egyenletet egy kör osztására, vagyis egy forma egyenletére
ahol az elsődleges szám, és azt mutatta, hogy mindig csökkenthető az alacsonyabb fokú egyenletlánc megoldására, és megtalálja a szükséges és elegendő feltételeket, hogy egy ilyen egyenletet négyzetgyökökben oldjanak meg. (E feltételek szükségességét a Galois szigorúan indokolta.)
Így, miután a munka Abel álláspontja a következő volt: bár, ahogy azt Abel, az általános egyenlet mértékben magasabb, mint a negyedik, általában nem lehet megoldani a radikálisok, de vannak akárhány különböző magán egyenletek bármilyen fokú, akik még mernek gyököket. Az egész kérdés megoldása egyenletek a radikálisok helyeztük ezeket a felfedezéseket teljesen új föld. Világossá vált, hogy meg kell keresni, mit mindazok egyenletek megoldhatók csoport, vagy más szóval, mi a feltétele a szükséges és elégséges ahhoz, hogy az egyenlet megoldható a radikálisok. Ez a kérdés, amelynek választ adnak bizonyos értelemben, a végső tisztázzuk az egész problémát, úgy döntött, ragyogó francia matematikus Evariste Galois.
Galois (1811-1832) meghalt 20 évesen a párbaj, és az elmúlt két évben az élete nem tudta, hogy sok időt tanulmányok a matematika, mert lenyűgözte a gyors örvény a politikai élet, hiszen a forradalom 1830-ban bebörtönözték, hogy ellenzi a reakciós rendszer Louis-Philippe, és így tovább. n. alatt azonban rövid élete Galois tenni a különböző részein a felfedezés a matematika, messze megelőzte korát, és különösen adta a leginkább figyelemre méltó az a rendelkezésre álló eredményeket elmélete algebrai egyenletek. A kis munka „Memoir feltételeiről szóló megoldhatóságának egyenletek a radikálisok” maradt kéziratait halála után, és az első alkalommal nyilvánosságra csak Liouville 1846-ban Galois alapuló egyszerű, de mély okokból végül felbomlik az egész labda a nehézségek köré elmélet a radikális egyenletek megoldása, a nehézségek, amelyeken a legnagyobb matematikusok eddig harcoltak. Galois sikere volt azon a tényen alapul, hogy ő volt az első, hogy alkalmazza az elmélet egyenletek számos rendkívül fontos új általános fogalmak később fontos szerepet játszott mind a matematika egészére.
A Galois-elméletet a speciális esetnek tekintjük, nevezetesen amikor egy adott egyenletgörény együtthatói
Racionális számok. Ez az ügy különösen érdekes és tartalmaz
önmagában lényegében a Galois általános elméletének minden nehézsége. Ezenkívül feltételezzük, hogy a szóban forgó egyenlet összes gyökere különálló.
A Galois azzal kezdődik, hogy, mint a Lagrange, úgy véli, hogy az 1. fokú relatív kifejezés bizonyos
de nem követeli meg, hogy az együtthatók az e kifejezés volt az egységgyök, és úgy valamilyen racionális egész szám úgy, hogy minden numerikusan különböző értékeket kapunk, ha V átrendezni a gyökerei minden lehetséges módon. Ez mindig megtörténhet. Továbbá, Galois foka az egyenlet, amelynek gyökerei nem nehéz megmutatni segítségével a tétel a szimmetrikus polinomok együtthatóinak mértékét az egyenlet racionális számok.
Eddig minden nagyon hasonlít a Lagrange-hoz.
Következő A Galois bemutatja az első fontos új koncepciót - a polinomium irreducibilitásának fogalmát egy adott számmezőben. Ha adott egy polinom, amelynek együtthatók, például a racionális, az úgynevezett redukálható polinomiális a racionális számokat, ha leírható, mint a termék polinomok az alacsonyabb fokú racionális együtthatós. Ha nem, akkor azt mondják, hogy a polinom nem irreducibilis a racionális számok területén. Csökkenthető polinomiális a racionális számok, mivel ez egy, például egy polinom meg tudja mutatni irreduk- a racionális számokat.
Vannak azonban olyan módszerek, amelyek hosszú számításokat igényelnek annak érdekében, hogy bármelyik polinomot és racionális együtthatókat a racionális számok irreducibilis tényezőire kiterjesszék;
A Galois azt javasolja, hogy a racionális számok területén leválasztható tényezőként kapott polinomot lebontják.
Legyen egy ilyen irreducibilis tényező (amelyik közülük, a jövőre, egyébként), és hagyd, hogy a fok.
A polinom ekkor a termék a szorzók a szint 1, amelyre bomlik polinom foka Let ezek a tényezők - mint renumber bármilyen számok () gyökerek előre meghatározott mértékben egyenlet. Ezután a gyökérszámok összes lehetséges permutációját tartalmazza, és csak azok közül. Ezen számok permutációinak halmazát az adott egyenlet Galois csoportjának nevezzük
Következő Galois bevezet néhány új fogalmat és vezeti, bár egyszerű, de igazán figyelemre méltó érvek amelyből kiderül, hogy a szükséges és elégséges (6) egyenlet úgy oldották meg, gyökök, hogy a szám a permutációk a csoport kielégítenek bizonyos határozott feltétel.
Így a Lagrange-féle előrejelzés, amely szerint a permutációk elmélete az egész probléma középpontjában áll, helyesnek bizonyult.
Különösen Abel tétele a radikális ötödik fok általános egyenletének meg nem határozhatóságáról a következőképpen bizonyítható. Belátható, hogy van annyi egyenletek mértéke 5, még egész együtthatós ilyen, amelyekre a megfelelő polinomja 120-ed-fokú visszavezethetetlen t. E. Az ilyen, hogy a Galois-csoport a csoport összes permutációk a számok 1, 2, 3 , 4, 5 gyökereiket. De ez a csoport, hogyan lehet bizonyítani, nem felel meg a kritériumoknak (jelek) Galois, és ezért az ilyen egyenletek mértéke 5 nem lehet megoldani a radikálisok.
Például kimutatható, hogy az a képlet, ahol a pozitív egész szám, a legtöbb esetben nem oldódik meg a gyökökben. Például nem lehet megoldani a radikálisokkal