A választás nem nyilvánvaló 4 valószínűségelmélet paradoxonja
"Háromféle hazugság létezik: hazugságok, szörnyű hazugságok és statisztikák." Ez a kifejezés, amelyet Mark Twain a brit miniszterelnök, Benjamin Disraeli tulajdonít, jól tükrözi a többség hozzáállását a matematikai mintákhoz. Valójában a valószínűségi elmélet néha olyan meglepő tényeket tár fel, amelyeket első látásra nehéz elhinni - és amelyet azonban a tudomány megerősített. Az "elméletek és gyakorlatok" emlékeztetnek a leghíresebb paradoxonokra.
Ez a feladat a "Huszonegyes" filmben volt, hogy az MIT ravasz professzor tanítványokat ajánlott fel. Miután megadta a helyes választ, a főszereplő a ragyogó fiatal matematikusok csapatába kerül, akik a Las Vegas-i kaszinóban játszanak.
A klasszikus megfogalmazás így hangzik: "Tegyük fel, hogy egy játékos meghívást kapott arra, hogy részt vegyen a híres amerikai televíziós shownál, hogy készítsünk egy Deal-t, amely Monti Hallot vezet, és ki kell választania a három ajtó egyikét. A két ajtó mögött van a kecske, az egyik - a fődíj, az autó, a házigazda tudja a helyét a díjak. Miután a játékos választotta, a bemutató megnyitja az egyik fennmaradó kaput, amely mögött a kecske található, és felkéri a játékost, hogy változtassa meg az elméjét. Ha a játékos beleegyezik, vagy inkább megtartja a kezdeti választását? "
Itt van egy tipikus indoklási vonal: miután a bemutató kinyitotta az egyik ajtót és megmutatta a kecskét, a játékos két ajtó közül választhat. A gép az egyik mögött van, így a kitalálás valószínűsége ½. Tehát nincs különbség - megváltoztatni a választását, vagy sem. És mégis, a valószínűségelmélet azt mondja, hogy növelheti a nyerési esélyeit a döntés megváltoztatásával. Meg fogjuk érteni, miért ez így van.
Ehhez egy lépéssel megyünk vissza. A kezdeti választásunk pillanatában két részre osztottuk az ajtókat: az általunk kiválasztottat és a másik kettőt. Nyilvánvaló, hogy a valószínűsége, hogy az autó mögé bújik a „mi” ajtó ⅓ - illetve, az autó mögé a két megmaradt ajtó valószínűséggel ⅔. Amikor a bemutató azt mutatja, hogy az egyik ilyen ajtó kecske, kiderül, hogy ezek az esélyek a második ajtón vannak. És ez csökkenti a játékosok választását két ajtóra, amelyek közül az egyik (kezdetben választva) az autó valószínűséggel ⅓, majd a másik után - valószínűséggel ⅔. A választás nyilvánvalóvá válik. Ami persze nem vonja vissza azt a tényt, hogy a játékos kezdettől fogva választhatna egy ajtót egy kocsival.
A három fogoly paradoxonja hasonló a Monti Hall problémájához, bár a cselekvés drámaibb körülmények között zajlik. Három fogoly (A, B és C) halálra ítélték, és magánszemélyekbe helyezték. A kormányzó véletlenszerűen kiválasztja az egyiket, és bocsánatul neki. A felügyelő tudja, hogy a három közül melyiket megbocsátják, de azt mondják neki, hogy titokban tartja. Fogoly A kérdezi az őr, hogy elmondja neki a nevét, a második rab (kivéve magát), ami biztosan meg kell halnia: „Ha kegyelmet mondd el, mi kerül végrehajtásra B. Ha megkegyelmezett, mondja el, mi kerül végrehajtásra B. Ha mindketten lenne végre , de megbocsátottam, dobtam fel egy érmét, és mondjam el a két név egyikét. A felügyelő azt mondja, hogy a B fogoly kivégzik. Megéri-e örülni az A fogolyban?
Úgy tűnik, igen. Végtére is, hogy ezt az információt a valószínűsége, hogy a halál ⅔ Egy rab, és most már tudja, hogy az egyik a másik két fogoly lenne végre - így a valószínűsége annak büntetését csökkentette ½. De valójában egy fogoly nem tanulni valami újat, ha azt nem kegyelemben, akkor hívja a nevét egy fogoly, és már tudta, hogy néhány, a fennmaradó két kivégezték. Ha szerencséje volt, és a kivégzést törölték, hallotta volna a véletlenszerű B vagy B nevet. Ezért a menekülési esélyei nem változtak meg.
És most képzeljük el, hogy az egyik megmaradt foglya megtudja az A fogoly kérdését és a kapott választ. Ez megváltoztatja a kegyelem valószínűségét.
Ha a B-fogoly meghallgatta a beszélgetést, megtudja, hogy kivégzik. És ha B fogoly, akkor megbocsátásának valószínűsége ⅔. Miért történt ez? Az A fogoly semmilyen információt nem kapott, és a kegyelmi esélyei még mindig ⅓. A B fogoly nem teljesen megbocsátható, és esélyei nulla. Ezért a harmadik fogoly valószínűsíthetősége ⅔.
A paradoxon az, hogy amíg meg nem nyitotta meg borítékot valószínűsége jóhiszeműen járjon: tényleg 50 százalék az esélye, hogy felfedezzék a borítékba összege X és 50 százalék - az összeg a 2X. És a józan ész azt határozza meg, hogy az adott összegre vonatkozó információ valószínűleg nem befolyásolja a második boríték tartalmát.
Azonban, amint kinyitja a borítékot, a helyzet változik drasztikusan (ez a paradoxon némileg hasonlít a történet a Schrödinger macskája. Ahol a megfigyelő maga befolyásolni a helyzetet). Az a tény, hogy a paradoxon feltételeinek való megfelelés érdekében a második borítékban nagyobb vagy kisebb összeget találni, mint amennyire ugyanaz lenne. De ebből az összegből minden érték egyformán valószínű a nulla és a végtelen között. És ha ugyanolyan végtelen számú lehetőség van, az összegben végtelenítik. És ez lehetetlen.
Az egyértelműség kedvéért elképzelhető, hogy egy centet talál a borítékban. Nyilvánvaló, hogy a második borítékban nem lehet fele annyi összeg.
Érdekes, hogy a paradoxon megoldására vonatkozó megbeszélések még most is folytatódnak. Ugyanakkor kísérleteket tesznek mind a belső paradoxon megmagyarázására, mind a viselkedés legjobb stratégiájának kialakítására egy ilyen helyzetben. Konkrétan Thomas Kaver professzor egy eredeti megközelítést javasolt egy stratégia kialakítására - a boríték megváltoztatására vagy megváltoztatására, valamilyen intuitív várakozással vezérelve. Mondja, ha borítékot nyitott, és benne volt 10 dollár - kicsik a becslései szerint - érdemes kicserélni. És ha egy borítékban, mondjuk 1000 dollárt, ami meghaladja a legvadabb várakozásait, akkor nem kell megváltoztatnia. Ez az intuitív stratégia abban az esetben, ha rendszeresen felajánlották a két boríték kiválasztását, lehetővé teszi a teljes nyeremény növelését, mint a borítékok állandó változásának stratégiája.
Úgy tűnik, hogy a feladat egyszerű. Ha azonban elkezdenénk megérteni, kiderül egy kíváncsi tény: a helyes válasz attól függően változik, hogy hogyan számoljuk ki egy másik gyermek szexuális valószínűségét.
Tekintsen minden lehetséges kombinációt a két gyermekes családban:
A lány / lány lehetőség nem felel meg nekünk a feladat feltételeinek megfelelően. Ezért a Mr. Smith család számára három, ugyanilyen valószínű lehetőség van - ami azt jelenti, hogy egy másik gyermek fiúként való valószínűsége ⅓. Pontosan ez a válasz, amit Gardner maga adott először.
Képzeld el, hogy Smith úrral találkozunk az utcán, amikor sétál a fiával. Mi a valószínűsége annak, hogy a második gyermek is fiú? Mivel a második gyermek neme nem az első gyermek nemétől függ, a nyilvánvaló (és helyes) válasz ½.
Miért történik ez végső soron, úgy tűnik, hogy semmi sem változott?
Mindez attól függ, hogyan közelítünk a valószínűség számolásához. Az első esetben a Smith család minden lehetséges változatát tekintettük át. A második - minden olyan családot tekintettünk, amelyek a kötelező feltétel alá esnek, "egy fiúnak kell lennie". Ezzel a feltétellel elvégeztük a második gyermek nemi esélyének kiszámítását (a valószínűségi elméletben ez a "feltételes valószínűség"), ami az elsőtől eltérő eredményhez vezetett.