Lineáris differenciál egyenletek állandó együtthatókkal
1. példa y '' -y '-6 = 2x
Az egyenlet megoldását y = e rx formában keresjük a szolgáltatás lineáris differenciálegyenleteken keresztül. Ehhez egy lineáris homogén differenciálegyenlet egyenletes együtthatókat kell alkotnunk:
r 2-r-6 = 0
D = (-1) 2 - 4 • 1 • (-6) = 25
A jellemző egyenlet gyökerei:
r1 = 3
r2 = -2
Ezért a döntések alapvető rendszere funkciókból áll:
y1 = e3x
y2 = e -2x
A homogén egyenlet általános megoldása a következő:
Tekintsük a jobb oldalt:
f (x) = 2x
Keressen magán megoldást.
Lineáris differenciál egyenlet állandó együtthatókkal és a forma jobb oldalán:
R (x) = e (X) sin (# 946; x)), ahol P (x) és Q (x) néhány polinom
van egy konkrét megoldás
y (x) = x k e # 945; x (R (x) cos (# 946; x) + S (x) sin (# 946; x)
ahol k a gyökér sokasága # 945 + # 946; i karakterisztikus polinomja megfelelő homogén egyenletet, R (x), S (x) - polinomok kell meghatározni, a mértéke, amely egyenlő a legnagyobb fokú a polinomok P (x), Q (X).
Itt P (x) = 2x, Q (x) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
Következésképpen a szám # 945; + # 946; i = 0 + 0i nem a jellemző egyenlet gyökere.
Az egyenletnek van egy sajátos megoldása a formának:
y * = Ax + B
Számoljuk ki a származékokat:
y '= A
y "= 0
amelyet az eredeti differenciálegyenlet helyettesítünk:
y '' -y '-6y = -A-6 (Axe + B) = 2x
vagy
-6Ax-A-6B = 2x
Az együtthatók egyenértékűvé tétele ugyanazt az x hatáskörben megkapja az egyenletrendszert:
-6A = 2
-1A-6B = 0
Az első sorból A = 2 / (-6) = -1 / 3. amit a második sorban helyettesítünk: 1/3 = 6B
A = -1 / 3; B = 1/18;
Az adott megoldás úgy néz ki, mint:
y * = -1 / 3 x + 1/18
Így a differenciálegyenlet általános megoldása a következőképpen alakul:
A döntést a szolgáltatás segítségével fogadták és formalizálják:
Differenciálegyenletek
2. példa y '' -2y '+ y = x-1
Ez a differenciálegyenlet lineáris differenciálegyenletekhez kapcsolódik, állandó koefficiensekkel.
Az egyenlet megoldását y = e rx formában keresjük. Ehhez egy lineáris homogén differenciálegyenlet egyenletes együtthatókat kell alkotnunk:
r 2-2r + 1 = 0
D = (-2) 2 - 4 • 1 • 1 = 0
A jellemző egyenlet gyökerei:
Az r1 = 1 karakterisztikus egyenlet gyökere.
Ezért a döntések alapvető rendszere funkciókból áll:
y1 = e x
y2 = xe x
A homogén egyenlet általános megoldása a következő:
Tekintsük a jobb oldalt:
f (x) = x-1
Keressen magán megoldást.
Lineáris differenciál egyenlet állandó együtthatókkal és a forma jobb oldalán:
R (x) = e (X) sin (# 946; x)), ahol P (x) és Q (x) néhány polinom
van egy konkrét megoldás
y (x) = x k e # 945; x (R (x) cos (# 946; x) + S (x) sin (# 946; x)
ahol k a gyökér sokasága # 945 + # 946; i karakterisztikus polinomja megfelelő homogén egyenletet, R (x), S (x) - polinomok kell meghatározni, a mértéke, amely egyenlő a legnagyobb fokú a polinomok P (x), Q (X).
Itt P (x) = x-1, Q (x) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
Következésképpen a szám # 945; + # 946; i = 0 + 0i nem a jellemző egyenlet gyökere.
Az egyenletnek van egy sajátos megoldása a formának:
y * = Ax + B
Számoljuk ki a származékokat:
y '= A
y "= 0
amelyet az eredeti differenciálegyenlet helyettesítünk:
y '' -2y '+ y = -2A + (Ax + B) = x-1
vagy
A • x-2A + B = x-1
Az együtthatók egyenértékűvé tétele ugyanazt az x hatáskörben megkapja az egyenletrendszert:
A = 1
-2A + B = -1
Feladó: A = 1; B = 1;
Az adott megoldás úgy néz ki, mint:
y * = x + 1
Így a differenciálegyenlet általános megoldása a következőképpen alakul:
3. példa y '' + 6y '+ 9y = 9x 2 + 12x-43
Ez a differenciálegyenlet lineáris differenciálegyenletekhez kapcsolódik, állandó koefficiensekkel.
Az egyenlet megoldását y = e rx formában keresjük. Ehhez egy lineáris homogén differenciálegyenlet egyenletes együtthatókat kell alkotnunk:
r 2 + 6 r + 9 = 0
D = 6 2 - 4 • 1 • 9 = 0
A jellemző egyenlet gyökerei:
Az 1. r1 = -3 karakterisztikus egyenlet gyökere.
Ezért a döntések alapvető rendszere funkciókból áll:
y1 = e -3x
y2 = xe -3x
A homogén egyenlet általános megoldása a következő:
Tekintsük a jobb oldalt:
f (x) = 9 • x 2 + 12 • x-43
Keressen magán megoldást.
Lineáris differenciál egyenlet állandó együtthatókkal és a forma jobb oldalán:
R (x) = e (X) sin (# 946; x)), ahol P (x) és Q (x) néhány polinom
van egy konkrét megoldás
y (x) = x k e # 945; x (R (x) cos (# 946; x) + S (x) sin (# 946; x)
ahol k a gyökér sokasága # 945 + # 946; i karakterisztikus polinomja megfelelő homogén egyenletet, R (x), S (x) - polinomok kell meghatározni, a mértéke, amely egyenlő a legnagyobb fokú a polinomok P (x), Q (X).
Itt P (x) = 9 • x 2 + 12 • x-43, Q (x) = 0, # 945; = 0, # 946; = 0.
Következésképpen a szám # 945; + # 946; i = 0 + 0i nem a jellemző egyenlet gyökere.
Az egyenletnek van egy sajátos megoldása a formának:
y * = Ax 2 + Bx + C
Számoljuk ki a származékokat:
y '= 2 • A • x + B
y '' = 2 • A
amelyet az eredeti differenciálegyenlet helyettesítünk:
y = + 6y + 9y = 2 • A + 6 (2 • A • x + B) + 9 (Ax 2 + Bx + C) = 9 • x 2 + 12 • x-43
vagy
9 • A • x 2 + 12 • A • x + 2 • A + 9 • B • x + 6 • B + 9 • C = 9 • x 2 + 12 • x-43
Az együtthatók egyenértékűvé tétele ugyanazt az x hatáskörben megkapja az egyenletrendszert:
9A = 9
12A + 9B = 12
2A + 6B + 9C = -43
Megoldva a Gauss-módszerrel. azt találjuk:
A = 1; B = 0; C = -5;
Az adott megoldás úgy néz ki, mint:
y * = x 2 -5
Így a differenciálegyenlet általános megoldása a következőképpen alakul:
y = C1 e -3 x + C2 xe -3 x + x 2 -5
Adatbeviteli szabályok
Kérdezze meg kérdéseit, vagy hagyja el kívánságait vagy megjegyzéseit az oldal alján a Disqus részben.
Segítséget kérhet a problémáink megoldásáért megbízható partnereinkkel (itt vagy itt).