Kombinációs identitások - problémák megoldása, kontroll
Ebben a részben a binomiális együtthatók kapcsolatainak sorozatát bizonyítjuk. Mindannyian önmagukban érdekesek és sokan a jövőben használják majd. Azonban nem kevésbé érdekesek a bizonyítás (vagy átvétel) módszerei. Rendszerint a kapcsolatok kombinatorikus jellegén alapuló bizonyítékokat fogunk nyújtani. Az érvelés általános rendszere a következő. Hagyja igazolt személyazonosság előtt tartva a bal és a jobb oldali részei rekonstruált feladat számítva egy bizonyos típusú tiszta kombináció (n, m. Törvény a paraméterek), és úgy döntött, hogy az egyik Így jutunk, mint a válasz. és más módon - olyan arányban alább említett paramétereket a oly módon, hogy az összes binomiális együtthatók értelme (például, ha jelen van a képlet CJ, azt feltételezzük, hogy a kombinatorikus identitásokat a következő azonosságokat: 1), hogy minden elem részhalmaza n-elemű halmaz szállít a levelezésben kiegészíti a teljes készletet. Könnyen belátható, hogy ez ad egy egy-az-egyhez megfelelés közötti -element és (n - L) - elemű részhalmazát n-elemű halmaz. Ha két véges halmaz között létezik egy-egy kapcsolat, akkor ezek a halmazok ugyanannyi elemet tartalmaznak. Így a kombinációk száma n, hogy megfeleljen a kombinációk száma n n - k 2) Legyen n parlamenti képviselők többek hangszóró .. Nézzük meg, hogy milyen módon lehet egy parlamenti küldöttséget létrehozni egy személyhez. Egyrészt ez a CJ kombinációinak száma. A számítást másképpen fogjuk elvégezni. Annak érdekében, hogy egy küldöttséget alakítson ki, beleértve a beszédet is, az n-i rendes képviselők közül k-1-t kell választani; ez így történhet. Ha a beszélő nem lép be a küldöttségbe, akkor a tagjai közül választhat. módon (n - 1 rendes választott képviselőből *, ember). Így van minden. küldöttség összeállításának módja. 3) 2n az n elemek összes részhalmazának száma. Mivel CJ az összes fc-elem-alhalmazának száma, a Cj-t összegezve k-ra 0-ról n-re, ismét megkapjuk az összes alcsoport számát. Egy másik bizonyítási módszer a Newton binomiális formula alkalmazása, melynek során x = 1-et kell elhelyezni, megkapjuk a kívántat. 4) Az azonosságot a fenti képletben x = -1 helyettesítővel igazoljuk. Kombinációs bizonyítékot is adunk. Lássuk az n elemek halmazainak egy halmazát, amelyek páros számú elemet tartalmaznak. Ez egybeesik azokkal a módozatokkal, amelyekből egy pártatlan számú emberből álló parlamenti küldöttség alakul ki, ha csak n parlamenti képviselő van. Ilyen típusú önkényes felhatalmazást kaphat a következő eljárás eredményeként. Először is, az egyes képviselők tekintetében, nem számítva a felszólalót, eldöntjük, hogy ez a képviselő belép a küldöttségbe, vagy sem. A munka szabálya szerint ezek a döntések 2P
„Módon. A felszólaló csak abban az esetben szerepel a küldöttségben, ha különös számú "szokásos" képviselő van. Így a páros számú kifejezéssel rendelkező küldöttségek száma összesen 2n
1, Mivel a részhalmazok száma összesen 2n, a páratlan elemszámú részhalmaz szintén 2n_ |, vagyis azonos számú, mint páros számú elem. Ezért, mivel az írásbeli egyenlőség részei kifejezik az n-elemek részhalmazainak számát, páratlan és egyenletes számú elemekkel. Ez az egyenlőség megegyezik azzal, amit bebizonyítottunk. 5) Ez a kapcsolat az előző identitás írásának egy másik formája. Kombinációs identitások 6) Mi megoldjuk ezt a problémát. Vannak tonna férfiak és n nők. Ezek közül ki kell alakítanunk egy küldöttséget egy személynek. Hányféleképpen lehet ezt tenni? A válasz nyilvánvaló: £ + n. A delegációkat a férfiak száma szerint osztályozzuk. Ha egy küldöttség férfiakból és k-kből és nőkből áll, akkor a férfiakat úgy lehet választani, ahogyan a nőket - módon; így a férfiakkal való küldöttségek száma egyenlő. Összefoglalva
A-tól 0-tól k-ig, kapjuk a küldöttségek teljes számát. 7) A bizonyításért elegendő 1) az előző összefüggésben alkalmazni. 8) Az identitás igazolása a következő probléma megoldásából nyerhetõ meg: Hány mód közül választhatunk n jelöltek közül a képviselõk és az utolsó beszélõ között? A képviselõket C módban választják, majd a beszélõt választják a módszerekre; Így a számok teljes száma egyenlő C "k-vel. Ugyanaz a szám másképpen számítható. Először (népszavazással) választunk egy felszólalót (n jelöltet), majd a fennmaradó n-1 jelölt közül - egy másik helyettest. Ez az eljárás n • J módban végezhető el. Ez bebizonyosodik róla. Ez hasznos hasznosítási összefüggést jelent. 9) Ez az identitás - az előző általánosítás (ha m = 1-et 9-ben teszünk) 8)), és bizonyítható egy olyan probléma megoldásával, amely korábban már megfogalmazott generalizáció: Hány mód közül választhat n helyettesi jelöltekből és az elnökség utóbbi t tagjaiból? 10) 1. módszer. Bizonyítsuk be az identitást matematikai indukcióval k-on. Az indukció alapja. K = 0 esetén a megfelelő egyenlőség: indukciós lépés. Tegyük fel, hogy igazolni kell az állítást. Hozzáadása az egyenlőség mindkét oldalához. így a 10-es reláció is érvényes. 2. módszer. Összesen (-element részhalmaza azonos. (Jobb oldalán ez azonosság). Mi minősíteni ezeket alcsoportok azok legnagyobb elem, amely nyilvánvalóan úgy értékeket. Találunk száma alcsoportok a legnagyobb eleme m + p 4-1. Mivel a legnagyobb elem már kiválasztott fennmaradó m elemek közül kiválasztott több átlagos szám részhalmazainak egyenlő összefoglalni ismét megkapjuk a teljes száma -element részhalmazok (bal oldalon a szükséges identitás) 11) az azonosságot bizonyult alapul az előző: .. 12) Döntse m probléma: Hány mód közül választhat az m jelöltek közül és néhány (talán minden, talán még senki) helyettesei közül? Egyrészt, tagjai közül választott módon, és oda juttatott 2m módon (például részhalmazait, amelynek több m elemek), és így a válasz a problémára. Másrészről, ha az odaítélt képviselők száma megegyezik, akkor választani őket, majd a többi képviselőt választják a módokon. Összefoglalva a k-t 0-ról m-re, ismét megkapjuk a Kombinációs identitást, megkapjuk a választ a vizsgált problémára. Az identitás bizonyított. 13) A 8) reláció használatával átalakítjuk az összeg általános kifejezését: a második módszert. 13) identitás, megjegyzések és az így kapott dupla összegben megváltoztatjuk az összegzés sorrendjét