A fennmaradó kifejezés becslése a Taylor-képletben
Kezdőlap | Rólunk | visszacsatolás
Rolle, Lagrange, Cauchy tételei
Továbbra is tanulmányozzuk a differenciálható funkciók tulajdonságait. Először Fermat tételét tanulmányoztuk, amelynek lényege, hogy a végső pontban a függvény deriváltja vagy nem létezik, vagy egyenlő 0-val.
ELMÉLET 1. (Rolle tétele) Hagyja, hogy a függvény folyamatos legyen egy intervallumban. van egy származéka az intervallumban és ezzel. Aztán van egy pont. amelyben a feltétel teljesül.
Bizonyítás. A funkció folyamatosan működik a szegmensen, és így elérte a legnagyobb és legkisebb értékét ebben a szegmensben. Ha ezek az értékek megegyeznek, akkor a függvény egyenlő egy állandóval, és annak származéka 0 az intervallum minden pontján. Ha a függvény legnagyobb és legkisebb értékei nem esnek egybe, akkor legalább egyikük nem egyezik meg a függvény határainál mért értékkel. Tegyük fel, hogy a szegmens egyik funkciójának legnagyobb vagy legkisebb értéke egy ponton érhető el. Ez a pont egy végső pont, és ezen a ponton a Fermat-tétel a származék 0. A tétel bizonyított.
Tétel 2. (Lagrange tétele) Hagyja, hogy a függvény egy intervallumon folyamatos legyen, és legyen egy származéka az intervallumon. Aztán van egy pont. amelyben a feltétel teljesül. (1)
Az (1) képletet Lagrange formulanak nevezzük. Néha formában van írva, és a Lagrange véges növekményeinek képletét nevezik.
Tétel 3. (Cauchy tétele) Hagyja a függvények folyamatosan egy intervallumon belül. van származéka. az intervallumon és ebben az időpontban. Aztán van egy pont. amelyben a (2) feltétel teljesül.
A (2) képletet Cauchy formulanak nevezzük.
Bizonyítás. Megjegyezzük, hogy a Lagrange-tétel Cauchy-tétel egyik konkrét esetét jelenti, ha függvényként funkcionálunk. A Cauchy-tétel igazolásához egy kiegészítő funkciót tartunk számon. Megjegyezzük, hogy a függvény folyamatos az intervallumon, és az intervallumon egy származék van. ugyanakkor. Így a Rolle-tétel összes feltétele elégedett a funkcióval. Ezért van egy pont. amelyben a feltétel teljesül. Következésképpen ,. amely megfelel a (2) feltételnek. A Cauchy és Lagrange tételeket bizonyították.
Mit kell tennie a függvény határainak kiszámításakor? Ha a függvény folyamatos, akkor egyszerűen helyettesítjük a határértéket. Olyan esetek, amikor lehetetlen helyettesíteni a számítási határértékeket, bizonytalanságnak nevezik. Az űrlap határa kiszámításánál lehetőség van arra, hogy mind a számláló határértéke, mind a nevező határ értéke legyen 0. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben lehetetlen alkalmazni azt a tételt, hogy a hányados határértéke megegyezik a korlátok hányadosával. Ezt a fajta helyzetet a faj bizonytalanságának nevezik. Ha a számláló és a nevező a végtelenségig terjed, akkor ez a faj bizonytalansága. Vannak másfajta bizonytalanságok is, például. . . A L'Hospital szabály csak a formanyomtatványok és a. Másfajta bizonytalanságok átalakulhatnak e fajok bizonytalanságaihoz.
Tétel 4. (L'Hospital tétel) A funkciók meghatározása, folyamatos és differenciálható egy adott pont szomszédságában. kivéve magát a pontot. a határ a faj bizonytalansága. Aztán. (3) ha a határérték létezik.
Bizonyítás. Mivel és. akkor az u függvényeket a feltételek határozhatják meg. Így az előre definiált funkciók folyamatosan változnak a pontokat összekötő szegmensen. Ezért Cauchy tétele alkalmazható a relációra, következésképpen van egy pont. ezen az intervallumon fekszik. Ebből következik a tétel állítása.
1. példa. Számítsd ki a határértéket.
A megoldás. Mivel ez a faj bizonytalansága. akkor jogszerű alkalmazni a L'Hospital szabályt. Következésképpen ,. Válasz. -8.
Megjegyezzük, hogy egy végtelenül nagy mennyiség úgy értendő, mint az a mennyiség, amelynek inverz értéke b. Ezért könnyű megmutatni ezt a kapcsolatot b. b. A L'Hospital szabály is alkalmazható.
Az L'Hospital szabálya. Az infinitezimális vagy végtelen nagy mennyiségek arányának felső határa a származékok arányának határértéke, ha létezik a származékok arányának határ.
2. példa. Számítsd ki a határértéket.
A megoldás. Mivel ez a faj bizonytalansága. akkor jogszerű alkalmazni a L'Hospital szabályt. Következésképpen ,. Válasz. 0.
Mint már említettük, a bonyolult függvény egyszerűbb funkciók közelítésének szükségessége a differenciál kalkulus elméletének 17. és 18. századában létrejötte volt. Mint ilyen egyszerű funkciók, az angol matematikus, Brooke Taylor (1685-1731) kezdett használni polinomokat.
Tekintsük a fok polinomát. a paraméterek határozzák meg :. Adjunk egy funkciót. származékai egy ponton. Tekintsük a számokat :. . . .... Ők egyedülállóan meghatározzák a Taylor polinomiát legfeljebb. birtokában van az a tulajdonság, hogy. , ...,:
A Taylor polinom (4) és származékai egybeesnek a függvény és annak származékai pontjával. Indokolt feltételezni, hogy a Taylor polinom (4) megközelíti a függvény egy pont szomszédságában. Ezt a tényt tükrözi a képlet
amelyet Taylor-képletnek neveznek. A Taylor-formula (5) a (6) formát veszi fel, és a Maclaurin-képletnek nevezzük.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy Taylor formula (5) nem kell bizonyítékot nyújtani, az egyetlen kérdés az adott funkció értékének becslése. amelyet a Taylor-képletben a fennmaradó kifejezésnek neveznek. A Taylor-formula alkalmazása ésszerű, abban az esetben, ha a fennmaradó kifejezés kis mennyiségű és 0-ig terjed. A Taylor-képlet közvetlen alkalmazására a függvény egy deriváltját egy pontra kell kiszámítani.
3. példa. Írj Taylor képletét egy függvényre egy ponton (a funkció Maclaurin-képletje).
A megoldás. Mivel a függvény egybeesik minden származékával, a feltétel teljesül, és a képlet (6) a formát veszi. (7)
4. példa. Írj Taylor képletét egy függvényre egy ponton (a funkció Maclaurin-képletje).
A megoldás. Ha. akkor. . . majd a kapott funkciókat megismétlik. A szin és annak származékai a 0 pontban egyenlőek a 0, 1, 0, -1, 0 számokkal. Ez a következő képletekből állítható:. . . Következésképpen a kívánt képlet a forma. (8)
5. példa Írj Taylor képletét egy függvényre egy ponton (a funkció Maclaurin-képletje).
A megoldás. Ha. akkor. . . majd a kapott funkciókat megismétlik. A koszinusz és annak származékai a 0. pontban megegyeznek az 1, 0, -1, 0, 1 stb. Számokkal, ez a képletek formájában írható. . . Következésképpen a kívánt képlet a forma. (9)
Megjegyezzük, hogy a (9) képlet a (8) képletből nyerhető el a bal és a jobb oldal megkülönböztetésével. És ez nem véletlen. Nem szükséges kiszámítani a vizsgált függvény valamennyi származékát.
6. példa. Írj Taylor képletét egy függvényre egy ponton (a funkció Maclaurin-képletje).
A megoldás. A kívánt képletet úgy kapjuk meg, hogy az argumentumot a (7) argumentummal helyettesítjük. Tekintettel erre. megérkezünk a kívánt képletre. (10)
A (7), (8), (9), (10) képletek összehasonlításával érkezünk az Euler-képlethez. (11), amelyet az 1. előadásban említettünk. A teljes Euler-képletet akkor bizonyítjuk, amikor megállapítjuk, hogy a (7), (8), (9) képletekben a többi kifejezés 0-ra növekszik az argumentum összes értéke tekintetében.
7. példa. Írj Taylor képletét egy függvényre egy ponton (a funkció Maclaurin-képletje).
A megoldás. Ha. akkor. . . . ..., (). Következésképpen a kívánt képlet a forma. (12)
A fennmaradó kifejezés becslése a Taylor-képletben
A Taylor-képlet használatának szerves része a fennmaradó kifejezés értékelése. Gyönyörű és gyakorlati képletek jelentek meg a kiemelkedő matematikusok 18, 19 és igen a 20 században. Megjegyezzük néhány eredményt bizonyítás nélkül.
Tétel 5. (Lagrange-féle tétel) Egy függvénynek legyen egy elsőrendű deriváltja valamelyik pont szomszédságában. Akkor egy tetszőleges pont ebben a szomszédságban van egy pont. A pontokhoz csatlakozó intervallumhoz tartozik. Az a tulajdonság, amelyet a kapcsolat tart (5). (13)
TEOREM 6. (Cauchy tétele) Legyen egy függvénynek az első sorrend egyik deriváltja valamelyik pont szomszédságában. Akkor egy tetszőleges pont ebben a szomszédságban van egy pont. A pontokhoz csatlakozó intervallumhoz tartozik. Az a tulajdonság, amelyet a kapcsolat tart (5). (14)
Tétel 5. (Peano tétele) Legyen egy függvénynek az első sorrend egyik deriváltja valamelyik pont szomszédságában. Ezután az összefüggés (5). (15)