A cayley tábora, ugyanúgy, mint egy asztal a természetes számok sokszorosításához,

Csakúgy, mint egy táblázatot a természetes számok sokszorosítására, a molekula szimmetriaspecifikációjában egy szorzótáblát állíthatunk össze. Ezt a táblát Cayley asztalnak (vagy a Cayley térnek) hívják. Annak érdekében, hogy megértsük az ilyen táblázatok összeállításának általános elveit, leírjuk a Cayley-táblázatot az NH3 ammónia-molekula szimmetria-műveleteinek sorozata esetében (1. táblázat).

C3V csoport Cayley térképe

3. A csoport meghatározása

Definíció 2. A G csoportot csoportnak nevezzük, ha ebben a sorozatban bináris algebrai műveletet definiálunk, amely megfelel a következő axiómáknak (a multiplikatív műveleti rekordban):

1. Minden a, b, c elemre a G-készletből (az asszociativitás axiómája).

2. A G készlet összes elemére létezik egy e elem e eleme, hogy (e a csoport egységeleme).

3. A G elem minden egyes elemére létezik egy a-1 elem ebből a készletből, úgyhogy (a-1 az a) elem inverz elemének nevezzük.

Vizsgált Cayley asztal több C3V, azt látjuk, hogy sok művelet ammónia molekula szimmetriája van egy csoport a megadott kapcsolati szorzás művelet a készletben.

Definíció 3. A G csoport H részhalmazát G csoport alcsoportnak nevezzük, ha a H csoport egy csoport a G csoportba bevezetett művelet tekintetében.

Annak ellenőrzésére, hogy H egy alcsoportja G, szükséges, hogy teszteljék két feltétel: a termék a két elem N feletti és N tartozik, az elemmel együtt h inverz eleme a G csoport (meg kell létezik) szintén tartozik N. Sőt, mivel ; A szorzás asszociativitása, amely a G egész csoportban is igaz, szintén a H. alcsoportban van.

Tétel 1. A molekula összes szimmetrias műveleteinek csoportja egy csoport. Ez a csoport a molekulák geometriai modelljét ábrázoló alakzat permutációinak szimmetrikus csoportjának alcsoportja.

Fogalommeghatározás 4. Egy molekula szimmetrias csoportja egy olyan molekula szimmetriaspecifikus működésének S halmaza, amelyen egy csoport szerkezetét egy molekula szimmetriaspecifikus műveleteinek szaporodása céljából vezetik be.

4. Homomorfizmusok és izomorfizmusok