Zéról a hősig
Az utolsó cikk "Exponent és az e: pénz példaként" megvizsgáljuk azt a helyzetet, amikor a pénz exponenciálisan növekszik és egy bizonyos idő alatt megduplázódik.
Most nézzük meg, hogy ez megváltoztatja az e szám lényegét, valamint az exponenciálisan növekvő rendszerek megértését, de nem duplázunk, hanem eltérő növekedési tényezőkkel.
És mit jelent ez mindez?
Az e (2.718) szám a maximális lehetséges eredmény egy 100% -os növekedés eloszlásával egy ideig. Természetesen elkezdtük a növekedést 1-től 2-ig (ez 100% -os növekedés, igaz?). De minden apró lépés előtt kis "osztalékokat" kapunk, amelyek önmagukban növekedni kezdenek. Ha mindent elmondtunk és megtettünk, 1 időtartam leteltével kaptunk e (2.718 ...), nem 2. Az e szám a legnagyobb, ha 100% -ot osztunk a legkisebb résekbe.
Tehát ha 1 rubelt kezdünk és a növekedés 100% -át bontjuk folyamatosan, 1e-t kapunk. Ha 2db rubelt vesznek be kezdeti összegként, akkor 2e lesz. Ha 11,79 rubelből indulunk, akkor 11,79 e.
Az e szám olyan, mint egy sebességhatár (mivel a "c szám" a fénysebesség). Ez az állandó megmutatja, milyen gyorsan fejlődhet folyamatos folyamaton. Nem mindig érheti el a sebességhatárt, de ez egy kényelmes összehasonlító pont: minden növekedési tényezőt leírhat ezzel az univerzális állandóval.
(Kitérő: vigyázz, ahol a koncepció növeli a végeredmény a koncepció 1 lett e (2,718 ...), emelkedett (growth factor) a 171,8% Az e szám, önmagában az a végeredmény, hogy látod után .. minden növekedés jóváírásra kerül (kezdeti összeg + növekedés).
És vannak más együtthatók?
Ez jó kérdés. Mi van akkor, ha az éves növekedés 50%, nem 100%? Még mindig használhatjuk az e számot?
Ellenőrizzük. Az összetett növekedési arány 50%, így néz ki:
Hmm ... Mit tehetünk itt? Ne feledje, 50% a jövedelem teljes százaléka, és n azoknak az időszakoknak a száma, amelyekre ez a százalékos arány az elhatárolás (kapitalizáció) szerint van elosztva. Ha n = 50-et választunk, akkor növekedésünk 50% 1% -ra osztható:
(1 +0,50 / 50) 50 = (1 + 0,01) 50
Ez persze nem végtelen, de mégis nagyon részletes példa. Most képzeljük el, hogy 100% -os "normális" növekedésünket 1% -ra osztottuk:
e ≈ (1 + 1,00 / 100) 100 = (1 + 0,01) 100
Nos, valamit már felismernek. A megszokott esetben 100 fokozatos változást kapunk, 1% egyenként. 50% -os érték esetén 50 inkrementális 1% -os változás van.
Mi a különbség a két szám között? Tény, hogy az 50% esetében a fele a 100% -os eset:
(1 + 0,01) 50 = (1 + 0,01) 100/2 = ((1 + 0,01) 100) 1/2 = e 1/2
Ez nagyon érdekes. 50/100 = 0,5, ami azt mutatja, hogy milyen mértékben építünk e. Ez egy általános elv: ha a növekedés százalékos aránya 300%, 300% -ra oszthatjuk 1% -kal. És végül olyan eredményt kapunk, amely egyenlő az e 3-val.
Tekintettel arra, hogy a növekedés egyszerű kiegészítésnek tűnik (+ 1%), meg kell jegyezned, hogy valójában ez a szorzás (× 1,01). Ezért használjuk a fokokat (ismétlődő szorzás) és a négyzetgyökereket (e ^ 1/2 jelenti a "fele" a változások számát, vagyis a szorzások számának felét).
Bár 1% -ot választottunk, kisebb számot (0,1%, 0,0001%, vagy akár egy végtelenül kis szám!) Lehetett növekedési faktorként figyelembe venni. A lényeg az, hogy bármilyen tényezőt választunk, ez egyszerűen új erőt jelent az e:
növekedés = e arány
És mi a helyzet más időszakokkal?
Tegyük fel, hogy két év alatt 300% -kal nő. Az éves növekedést (e 3) szorozzuk magunkkal:
növekedés = (e 3) 2 = e 6
A mágikus fokok elkerülhetik a kettős erekciót. Egyszerűen megszorozzuk az együtthatót időben, és emeljük az e számot az így kapott teljesítményhez.
Titok: az e szám kombinálja az inkrementumot és az időt
Csodálatos! e x két dolgot jelenthet:
- x - a növekedési faktor szorzatainak száma: a 3 éves növekedés 100% -a e 3 lesz
- x a növekedési faktor önmagában: a 300% -os növekedés egy évre e3 lesz.
Nem ez a vállalkozás? Megszakadna a képletünk, nem jön a világ vége?
Nem, minden rendben lesz. Amikor írunk:
az x változó a növekedési sebesség és az idő kombinációja.
Hadd magyarázzam el. Egy folyamatos összetett növekedés esetén a 10 éves 3% -os növekedés ugyanazt az eredményt eredményezi, mint egy év, 30% -os növekedéssel (későbbi növekedés nélkül).
- 10 éves 3% -os növekedés azt jelenti, hogy az összeg 30-szor 1 százalékkal fog változni. Ezek a változások 10 évente alakulnak ki, így minden évben az összeg 3% -kal nő.
- 1-es időszak 30% -os növekedéssel 30-szor 1% -ot jelent, de minden 1 év alatt történik. Így a teljes növekedés 30%, és ez véget ér.
Mindenesetre 30 lépésenként 1% van. Minél magasabb az arány (30%), annál kevesebb idő telik el ugyanarra a nyereségre (1 évre) nőni. Minél kisebb az együttható (3%), annál hosszabb lesz a növekedés (10 év).
De mindkét esetben a növekedés e = 0,30 = 1,35. A türelem hiánya miatt a magasabb és gyorsabb növekedést inkább lassabban és hosszabb ideig kívánjuk elérni, de az e szám azt mutatja, hogy a hatás mindkét esetben azonos.
Itt általános képletünk van:
növekedés = e x = e növekmény × idő
Ha egy B időtartamra P nyereséget kapunk, teljes összetett növekedésünk egyenlő lesz e nv. Egyébként negatív és törtrészes lépésekben is működik.
A következő cikkben az exponenciális növekedést és az e számot tekintjük valós példákra: kristálynövekedés, maximális bankráta és a radioaktív bomlási ráta.