Példa a fázisútvonalak kialakítására

A szabályozó statikus jellemzője a következő:

Ebben az esetben a + C a végrehajtó szerv tengelyének sebessége a kemence tápellátásának csökkentése érdekében; - C - tengelysebesség a bemeneti teljesítmény növelése érdekében.

Megkülönböztetjük az egyenletet (3.3.) És helyettesítjük az dx / dt értékeket. olyan egyenleteket kapunk, amelyek leírják a hőmérséklet-szabályozó rendszer folyamatát a reléérintkezők különböző helyzetében:

Fázis-pályát hozunk létre a fázisszintben x = q és h = dq / dt koordinátákkal. Szerint expresszió (3.4.), Ha dq / dt> 0 szabályozó kapcsoló kapcsolatok, ha q = + b (EF on line ris.96 b) ha dq / dt <0 . то регулятор переключится при q = –b (линия GH), как изображено на рисунке 96.

Ris.96. Grafikus ábrázolás:

a) a szabályozó statikus jellemzője

b) a kemence hőmérsékletszabályozó rendszerének fázisrajza

A 96. ábrán látható sokszög poligon jobb oldalán a fázisrajz megfelel az egyenlet (3.5.) Feltételeinek, és az EFGH poligonális vonal bal oldalán az egyenlet feltételei (3.6.). A dt = dq / h helyettesítjük a (3.5.) Egyenletben, és megkapjuk a fázisvonások differenciálegyenletét:

Az integrálás (3.7.) Után a következőket kapjuk:

Hasonló módon megkapjuk a fázisútvonalak differenciálegyenletét az EFGH poligonális vonal bal oldalán, melynek formája:

A fázisrajzot alkotó fázisszintű görbék a C1 és a C2 különböző értékeire vonatkozó fázisútvonalak. ezeket az értékeket a kezdeti feltételek határozzák meg. A fázis portréja a tranziens folyamatot egy nemlineáris rendszerben jellemzi. Esetünkben a rendszert lefeszített hőmérséklet-ingadozások jellemzik; a fázisrajzban van egy ABCD zárt körvonal, amelyet egy vastag vonal választ el, amelyhez a fázispályák konvergálnak.

A nemlineáris rendszereket a tranziens folyamatok befejezése után kialakuló egyensúlyi egyensúlyi állapotok, valamint az öncsillapítások idõszakos folyamatai jellemzik. A nemlineáris rendszereknek több egyensúlyi állapota is lehet. Az öncsillapítások a rendszer tulajdonságai miatt merülnek fel, és nem függnek a külső befolyás megváltozásától. A lineáris rendszerek különböznek a nemlineáris rendszerektől azáltal, hogy lehetőség van az elmúlt több egyensúlyi állapot megléte és az öncsillapítás lehetősége. Tény, hogy csak stabil egyensúlyi állapotokat és auto-rezgéseket veszünk figyelembe, egyesek stabilitása nem zárja ki mások instabilitását.

A nemlineáris rendszer eltérésének értéke az egyensúlyi állapottól, stabilitásától függhet, miközben megkülönbözteti az "egész", "nagy" és "kicsi" stabilitást. A rendszer "kicsi" stabilitását a rendszer stabilitása jellemzi, az egyensúlyi állapottól kis eltéréssel. A rendszer "nagy" stabilitása jelzi a rendszer stabilitását nagy eltérések esetén. A rendszer "kicsi" és instabil "nagy" szinten stabil. A rendszer minden eltérés esetén stabilnak tekinthető az "egészben".

A fázisrajzok elemzése lehetővé teszi a stabilitás jellemzőinek és az ön-oszcillációk előfordulásának jellemzését. A 97a. Ábra a rendszer fázisrajzát mutatja, amely minden x kezdeti érték egyensúlyi állapotba kerül (a fázisútvonalak megközelítik a származást). Az egyensúlyi állapotban jelzi a hossza az abszcissza, amelyre fázisú pályák konvergálnak, és a mérete, amely attól függ, hogy mekkora területen érzéketlenség. Az ilyen rendszer stabilnak tekinthető az "egészben". Az 1. ábrán. 97, b a "nagy" és "kicsi" és stabil "stabil" rendszer stabil portréját mutatja. Ezt a következtetést lehet levonni, hogy a kis kezdeti értékei x fázis pályáira konvergálnak a származási és x eltérnek nagy. Zárt hurok szakasz pályáját körülhatárolja a rendszer stabilitását, a „kis” az instabilitás a „nagy” és az úgynevezett instabil batch módban vagy határciklusos.

Ebben az esetben egy határciklus jelenléte és a fázisútvonalak iránya egy zárt kontúrtól azt jelzik, hogy stabil ön-oszcilláció nem fordulhat elő, mivel a fluktuációk elhalványodnak vagy eltérnek.

Ris.97. Nemlineáris vezérlési rendszerek fázisrajzai:

a rendszer egy halott sávval (-b ... + b), stabil az "egész"

b - olyan rendszer, amely stabil a "kis" és instabil a "nagy"

c rendszer stabil, automatikus oszcillációval,

r egy olyan rendszer, amelynek két határciklusa van a fázis síkon.

A 97. ábra c. Ábráján a fázisrajz egy bizonyos értékekhez képest divergáló folyamat jelenlétét mutatja, a rendszer kis eltérése pedig az egyensúlyi állapotból. Kiegyensúlyozatlanság van a rendszerben a „kicsi”, de a rezgési amplitúdó növekszik csak egy bizonyos ponton, amely után állandó marad, ami azt jelzi, az esemény a stabil önálló oszcilláció. Egy zárt fázisú pályán, amelyhez más fázisútok irányulnak, jelzi a stabil határciklus létezését. Következésképpen minden x érték esetén önkiáltó oszcillációk jelennek meg a rendszerben.

A 97. ábrán d fázisportré egy összetettebb rendszert jellemez. Ez a fázisrajz két zárt kontúrt mutat, amelyek jelzik az időszakos rezsimek létezését. A belső határoló kontúr instabil, és a stabilitáshatár a "kicsiben". A külső határ kontúr stabil, és jelzi a stabil ön-oszcillációk előfordulását a rendszerben.

Az ön-oszcillációs paramétereket zárt hurkon határozza meg. Például a harmonikus önsugárzásokra, amelyeket egy sinusoid x = A sin wt. az öncsillapítások amplitúdója meghatározható az OA szegmens hossza az abszcissza tengelyen a 97. ábrán, c. Az a tény, hogy x '= A cos wt. a cos wt = 1 értéknél. a szegmens OB Aw. ezért az ön-oszcillációk gyakorisága w = OB / OA.

Valójában az ön-oszcilláció megjelenésének oka az előre definiált kapcsolás a rendszerben van. Ellentétben CW szinuszos rezgéseket nem jellemzi, és ezek fázis pályája elliptikus alakkal, ezért a számítást a feltételezésekkel.

Figyelembe véve a fentieket, megfogalmazzuk a nemlineáris rendszerek stabilitásának különbségét a lineáris rendszerek stabilitásától:

- stabil "általában" a nemlineáris rendszer több egyensúlyi állapotot is tartalmazhat, egy lineáris rendszer egy;

- a lineáris rendszerek stabilitása nem függ az egyensúlyi állapottól való kezdeti eltérés nagyságától, vagy pedig a nemlineáris rendszerek stabilitásától függ;

- a nemlineáris rendszerekben a "teljes", a "nagy" és a "kicsi" stabilitást különböztetik meg lineáris rendszerek esetében, ilyen osztályozás hiányzik;

- a stabil nemlineáris rendszerekhez létezhet az öncsillapítások rendszere, a lineáris rendszerek esetében nincs.