Az elosztási paraméterek pontértékelésére szolgáló pillanatok módszere
Megmutatható, hogy a kezdeti és a központi empirikus pillanat az azonos rendezési kezdeti és központi elméleti pillanat következetes becslése. Ez a C. Pearson által javasolt pillanat módszere. A módszer előnye az összehasonlító egyszerűség. Az adott eloszlás ismeretlen paramétereinek pontértékbecslésének pillanatnyi módja abban rejlik, hogy a vizsgált eloszlás elméleti momentumait ugyanazon sorrend empirikus pillanataihoz hasonlítjuk.
A. Egy paraméter becslése. Tegyük fel, hogy megadjuk az ismeretlen paraméterek által meghatározott f (x, # 952;) eloszlási sűrűség formáját # 952; Meg kell találni a paraméter pontbecslését # 952; .
Egy paraméter kiértékeléséhez elegendő, hogy e paraméter tekintetében legyen egy egyenlet. A pillanatok módszerét követve például az első rend kezdeti elméleti pillanatát az első rend kezdeti empirikus pillanatához hasonlítjuk: # 957; 1 = M1. Tekintettel erre # 957; 1 = M (X) (lásd a VIII, § 10 ..) = M1 (lásd XVII, § 2 ..), kapjuk
Az M (X) matematikai várakozása, amint az összefüggésből látható
van egy funkciója # 952; ezért (*) egyenértékűnek tekinthető egy ismeretlenel # 952; Ennek az egyenletnek a megoldása a paraméter tekintetében # 952; így megtaláljuk a pont becslését # 952; *, ami a minta átlagának függvénye, tehát a mintaváltozatból:
1. példa. Keresse meg a pillanatok módját x1, x2 mintával. Az ismeretlen paraméter xn pont becslése # 955; exponenciális eloszlás, amelynek eloszlási sűrűsége (x ≥0).
A megoldás. Az elsõ rend kezdeti elméleti pillanatát az elsõ sorrend kezdeti empirikus pillanatához hasonlítjuk: # 957; 1 = M1. Figyelembe véve. M1 =, kapunk
Figyelembe véve, hogy az exponenciális eloszlás matematikai várakozása 1 / # 955; (lásd XIII. fejezet, 3. §)
Így a paraméter kívánt pontbecslése # 955, az exponenciális eloszlás megegyezik a minta átlag inverzével:
B. Két paraméter értékelése. Legyen az f (x; # 952; # 952; 2), amelyet ismeretlen paraméterek határoztak meg # 952; 1 és # 952; Két paraméter megkereséséhez két egyenletre van szükség ezen paraméterek tekintetében. Miután a momentumok módszerével, egyenlővé, például a kezdeti elméleti pillanata az elsőrendű kezdeti empirikus ideje az elsőrendű, valamint elméleti középpontja a másodrendű centrális momentum a másodrendű hüvelykujj:
A várakozás és a variancia függvényei # 952; 1 és # 952; ezért (**) két egyenlet két ismeretlen rendszernek tekinthető # 952; 1 és # 952; Ennek a rendszernek az ismeretlen paraméterekkel kapcsolatos megoldása érdekében pontértékeket kapunk # 952; 1 * és # 952; 2 *. Ezek a becslések a mintaváltozat függvényei:
2. példa. Keresse meg a pillanatok módját x1, x2 mintával. Az ismeretlen paraméterek xn pont becslései a és # 963; normál eloszlás
A megoldás. Az első rend kezdeti elméleti és empirikus pillanatait, valamint a második rend központi és empirikus pillanatait azonosítottuk:
Figyelembe véve, hogy a normál eloszlás elvárása megegyezik az a paraméterrel, akkor a variancia # 963; 2 (lásd: XII. Fejezet, 2. pont), rendelkezünk:
Így a normál eloszlás paramétereinek szükséges pontbecslései:
Megjegyzés 1. A becslésekhez, ismeretlen paraméterekhez nemcsak a pillanatokat, hanem a pillanatok funkcióit is meg lehet határozni. Különösen így kapjuk meg az elosztási jellemzők következetes becslését, amelyek az elméleti pillanatok függvényei. Például az elméleti eloszlás aszimmetriája (lásd XII. Fejezet, 9. pont)
a második és a harmadik megbízás központi pillanatainak függvénye. Az elméleti pillanatoknak a megfelelő empirikus pillanatokkal való helyettesítése után az aszimmetria pontértékét kapjuk
Megjegyzés 2. Figyelembe véve ezt. az utolsó képlet formázható
Továbbá ezt a becslést az empirikus eloszlás aszimmetriájának meghatározásaként fogják elfogadni (lásd XVII. Fejezet, 9. cikk).