Alap-dimenziós tér - stadopedia
Adjuk meg a térből a térbeli dimenziós vektorok rendszert.
Az űrlap vektorát, néhány számra, ezeket a vektorok lineáris kombinációjának nevezik.
30. Példa A tér háromdimenziós vektoraira a vektor a vektorok lineáris kombinációja és.
A vektorok rendszere lineárisan független. ha a mi, mindig követi
különben a rendszer lineárisan függ.
A vektorok lineáris függősége a következőképpen fejezhető ki:
Még ha a vektorok lineárisan függenek is, akkor a számok közül legalább egy (például) és a Vektor a fennmaradó vektorok lineáris kombinációja. Így a rendszer
- a vektorok lineárisan függenek csak és csak akkor, ha a rendszer egyik vektora a többiek lineáris kombinációja.
A vektorok-dimenziós tér rendszere csak és csak akkor függ, ha a mátrix azon sorszáma, amelynek sorai a rendszer vektorai, kisebb, mint a számuk. Ha a mátrix rangja pontosan megegyezik e vektorok számával, akkor ezek lineárisan függetlenek.
A vektorok rendszere a rendszer lineárisan független vektorainak maximális száma.
31. példa A térben az egységvektorok, és lineárisan függetlenek.
A vektortér alapja bármely olyan lineárisan független vektorrendszer, amelyen keresztül bármely térvektor kifejezhető. Az űrben lévő bázisok végtelen lehetnek. A térben lévő vektorok számát annak dimenziójának nevezik.
Tétel 5. Az alapdimenziós tér egy csúcsból áll.
Bizonyítás. Mutassuk meg a vektorok rendszerének lineáris függetlenségét
.
Ezt az egyenletet koordináta formában írjuk
, így vektorok
Véletlen vektor esetén nyilvánvaló
. Így a vektorok a tér alapját képezik.
Tegyük fel, hogy van egy másik alapja a térnek, ahol ,, ..., u, vagyis a vektorok száma nagyobb, mint n. Ezután az egyenlőség tartja, ami egyenértékű a rendszerrel
A rendszer egyenleteinek száma kisebb, mint az ismeretlenek száma, ezért a korlátolt rendszer mátrixának rangszáma nem lehet nagyobb, mint n. ezért a vektorok rendszere lineárisan függ és nem képezhet alapot. A tétel bizonyított.
Ha valamilyen alapot választanak a térben, akkor tetszőleges vektor esetén a reprezentációt
A számokat a vektor koordinátáinak nevezzük. A különböző térbeli bázisokban ugyanaz a vektor különböző koordinátákat tartalmaz.