Integrálok függően paraméter
16 integrálok függően egy paraméter
Legyen f (x, y) - a függvénye két változó definiált egy téglalap
Ha bármilyen Yi [c. d] az integrál, ez az integrál függvénye y változó (amely az úgynevezett itt paraméter):
.
Így kap egy új módja a meghatározó funkció - szerves függően a paraméter.
Example1. Tekintsük a funkciót. Ebben a példában az integrál könnyen kiszámítható :. Ennélfogva, az I (a) is be lehet állítani szokásos módon :.
Azonban gyakran vannak integrálok nem lehet kifejezni elemi funkcióit. Ezután meg kell dolgozni a meghatározott funkció formájában szerves paraméterrel. Tehát meg kell tanulnunk együtt dolgozni ezeket a funkciókat - különösen ismeri a szabályokat differenciálódás és integráció.
Van még egy bonyolultabb a helyzet, ha a paraméter nem csak attól függ az integrandus, hanem a határain integráció :.
16.1 Basic tételek
16 .1 .1 határa alatt az integrál jel.
1. Tétel (a folytonosság a egybeépített paraméter). Ha az f (x, y) folytonos a téglalap D = [a. b] „[c. d]. A függvény folytonos az intervallumon [c. d].
Bizonyítás. A tétel Cantor, folytonos kompakt halmaz D függvény egyenletesen folytonos, azaz
"E> 0 $ d> 0:" x ¢, x², y ¢, y² | x ¢ -x² | . Most becsüljük a növekmény a függvény I (y): . Megjegyzés. Tétel 1 megköveteli, hogy az f (x, y) folytonos mindkét változót együtt. azaz a. Elégtelen az f (x, y) folytonos minden változó. Például, a függvény folytonos x (bármilyen rögzített y), és folyamatos Y tekintetében (minden egyes rögzített x) .Azonban folytonos függvény (a beállított változók) egy pontban (0 0), ez nem: nincs korlátozás. Ebben az esetben az igazságtalan és kiadási tétel 1; például, a függvény folytonos Y = 0. Mivel folytonosságát I (y) azt jelenti, hogy a definíció szerint bármely pontján y0. ebből az következik, azonnal 1. tétel . Ha j (y), Y (y) - folytonos függvény, és az f (x, y) folytonos . Ez a kijelentés megerősíti tétel az 1. és 2.. Egy másik fejlesztés tételek 1. és 2. A csere következtében a folytonosság követelményének f (x, y) gyengébb állapotban. Teorema3. Ha f (x, y) folytonos x (bármilyen rögzített y) és f (x, y) konvergál egyenletesen a g (x), amikor y®y0. akkor. Egyenletes konvergencia: eszköz: A bizonyíték egyszerű - végezzük ugyanazt az értékelést, a tétel bizonyítása 1. 3. Tétel is érvényes abban az esetben, y® ¥. Csak meghatározása egyenletes konvergencia másképp néz ki: amikor y® ¥ U "e $ M." y ³M | f (x, y) -g (x) | 2. példa. Számolja. Határozat. Mivel a függvény folytonos minden x, y. lehetőség van a határ az integrál jel: . 3. példa. Számolja. Határozat. A integrandus folytonos minden x. y és y® ¥ hajlamos g (x) = x: . Ez konvergencia egyenletes, mint „xi [0. 1] , ha csak. Szóval, tudom át a határt az integrál jel: . 16 .1 .2 differenciálása paraméter. 4. Tétel Legyen az f (x, y) és annak részleges derivált folyamatosan változó y D = [a. b] „[c. d]. majd . Más szóval, a származék lehet számítani differenciálásával az integrál jel. Bizonyítás. Kiszámoljuk az deriváltja a definíció: . Továbbra is bizonyítani, hogy akkor adja át a határt az integrál jel. Ahhoz, hogy használni 3. tétel, azt bizonyítja, hogy. Mi kell alkalmazni Lagrange-tétel: , ahol ci [y, y + Dy]. By feltételezés, - a folyamatos, ami azt jelenti, hogy a Cantor-tétel, és egyenletesen folytonos. Ebből következik, hogy , de ez azt is jelenti, egyenletes konvergenciája: . Alkalmazása 3. tétel, megkapjuk, amit kellett . 4. példa. Find a függvény deriváltját a y = 2. Határozat. Kiszámításával integrál, hogy megtalálja explicit függvénykifejezést I (y). majd különbséget. Könnyebb, azonban, ha a 4. tétel: , . Amikor xi [0. 1], és y értékei. közel 2 A funkció és annak parciális derivált nyilvánvalóan folyamatos.
Kapcsolódó cikkek