A határérték pontok sorrendjében 1
Definíció 1. A pont x végtelen egyenes nevezzük határpont a szekvencia N>, ha e - környezetében ezen a ponton van végtelen sok elemét n> szekvenciát.
Lemma 1. Ha a határpont x- k> szekvenciát, ez a szekvencia egy alszekvenciája NK>, amely konvergál az x szám.
Megjegyzés. Ennek a fordítottja is igaz. Ha egy szekvenciát k> rendelkezik egy alszekvenciája, hogy konvergál az x, száma x egy határpont k> szekvenciát. Valóban, minden e - szomszédságában x végtelen sok eleme a szekvenciával, és ezért a legtöbb k> sorozatot.
Lemma 1 azt jelenti, hogy lehetséges, hogy egy másik definíciója a határ pont a szekvencia, amely egyenértékű a meghatározása 1.
Definíció 2. Egy pont x nevezzük végtelenül közvetlen határpont k> szekvenciához, ha ez a szekvencia egy alszekvenciája, hogy konvergál x.
2. Lemma Minden konvergens sorozat csak egy határpont, amely egybeesik a határ ebben a sorrendben.
Megjegyzés. Ha a sorozat konvergál az következik, 2. Lemma csak egy határpont. Azonban, ha n> nem konvergens, akkor lehet, hogy több ponton is a határérték (és általában a végtelen sok korlát pont). Megjelenítése, például, hogy a két határ pont.
Sőt, = 0,2,0,2,0,2. két határ pont 0 és 2, a részsorozat = 0,0,0. n = 2,2,2. Ennek a sorozatnak, illetve azon túl a 0 és 2. A másik korlát pont ebben a sorrendben nem. Valóban, legyen x bármely pontján valós tengelye eltér a pont 0 és 2 vesszük e> 0 úgy,
kicsi, hogy e - szomszédság pont 0, x + 2 nem metszik egymást. E- A környéken pontok 0 és 2 tartalmazzák az összes szekvencia elemek, és ezért e - szomszédságában x nem tartalmazhat végtelen számú elemek, és ezért nem egy határpont a szekvencia.
Tétel. Minden korlátos szekvencia legalább egy határpont.
Megjegyzés. Egyik x. superior nélkül határpont n> szekvenciát, azaz, - maximális határértéket pont n> szekvenciát.
Hagyja x- meghaladó tetszőleges. Úgy döntünk e> 0 olyan kicsi
és x 1 ÎAhhoz, hogy a megfelelő X 1 egy véges számú elemet n> szekvenciák vagy egyáltalán nem, azaz x nem határpont n> szekvenciát.
Definíció. A legnagyobb határpont sorozatából n> nevezik felső határa a szekvencia és a jelöli a szimbólumot. Megfigyelésekből az következik, hogy az egyes határolt szekvencia a felső határ.
Hasonlóképpen, bemutatjuk a fogalom az alsó határ (alsó határ az a pont n> szekvencia).
Tehát beláttuk az alábbi nyilatkozatot. Minden korlátos szekvencia van egy felső és alsó határértékek.
Állami bizonyítás nélkül a következő tétel.
Tétel. Ahhoz, hogy az N szekvencia> egy konvergens, szükséges és elégséges, hogy korlátozott volt, és hogy a felső és alsó határok azonos.
Ennek a tételt vezet a következő alaptétele Bolzano-Weierstrass.
Bolzano-Weierstrass-tétel. konvergens bármilyen alszekvenciája korlátos szekvencia.
Bizonyítás. Mivel a szekvenciája n> korlátozott, ez legalább egy határpont x. Ezután ebből a szekvencia alszekvenciája konvergáló egy pont x (a meghatározása egy határpont 2).
Megjegyzés. Mi lehet kiosztani konvergens monoton szekvencia bármely korlátos sorozatot.