Elemi geometria tétel
Tétel. A több lapos szög a poliéder kétszerese az élek száma.
Hagyja F11 F21 F11 - arcok a poliéder, és hagyja, hogy kt - száma oldalán az arc F1. Ha / - száma a poliéder élei,
mert minden éle közös oldalán két arca. Mivel a több síkban szögek minden arc megegyezik a szám az oldalán, az összes lakás szögek túl 2t.
Két polyhedra nevezzük izomorfak, ha meg tudja állapítani egy-egy levelezés között a széleken, míg Ko fenébe. 1955
1) a megfelelő arcok azonos oldalainak száma;
2) két oldalát, amelynek közös él, megfelelnek a széle, továbbá amelynek a közös él;
3) néz, amelynek közös csúcsa, a megfelelő arc is, amelynek közös csúcsa.
Egy példa a izomorf poliéderek lehet csonkítva négyszögletes gúla, és egy négyszögletes hasáb.
Adunk bizonyíték nélkül egy fontos tétel a francia matematikus és K o w (1813) a konvex poliéderek.
Cauchy-tétel. Ha minden két megfelelő felületei két izomorf konvex poliéderek egyenlő, az adatok egyenlő vagy poliéder vagy tükröző egyenlő (§ 61).
Cauchy-tétel fejezi ki az ingatlan a „keménységét” konvex poliéder. Nem lehet megváltoztatni az értéket a torziós szögek a konvex poliéder megváltoztatása nélkül, szögek és oldalán lapján.
§ 68. Euler-tétel konvex poliéderek
Tétel. Ha n - az arcok száma egy konvex poliéder, s - a csúcsok száma, egy t - a szám a széle,
Bizonyítás. Vegyük az arc F a poliéder F és a belső pont S. Tegyük fel, hogy S '- bármely pontján más arcát F”. OtrezokSS hazugságai egyik oldalán bármely más arcok a poliéder. Ezért nincs közös pontja bármelyike ezeket az arcokat. Mivel F - konvex alakja, az összes belső pontja a szegmens SS „belső pontja a polihedron.
A felszínen a poliéder újabb pontot is, nem feküdt az arcon F. A metszeteket SS „és az SS„nem lehet közös pontja, kivéve a pont S. Valóban, ha ezek a szegmensek közös két pontot, az egyik közülük kiderült, hogy része egy másik majd a második lenne a belső felülete a poliéder F pont, amely ellentétes a következtetést csak tette. az következik, hogy a összekötő vonalak a határpont S
vagy F pontok fennmaradó részletét nincs közös pont, kivéve a közös végén S.
Döntetlen a síkja párhuzamos arcok F és nyúlva ki belőle azonos oldalon, mint az aktív polihedron (ábra. 196). A távolság a síkon, és vegye F úgy, hogy kisebb, mint a távolság a felület síkja F legközelebbi erre a síkra csúcsok
poliéder, amely nem tartozik ez a vetülete. Ezután a csúcsai F és a maradék csúcsai a poliéder lesz átellenes oldalain helyezkednek is. Ezért egy sík metszi az összes arcot szomszédos arc F.
Let Fg - poliéder keresztmetszetű sík és a (a rajzon - négyszög PQRN). Ez a szakasz a poliéder P két részre van osztva poliéder. Legyen F „a két poliéder, amelynek székhelye a másik oldalon a sík és amelynél az aspektus nem F.
Nyilvánvaló, hogy az arcok száma a P „jelentése megegyezik az arcok száma F. A csúcsok száma és az élek számát egy poliéder P”, nem tartoznak a szélén a Fa. rendre egyenlő a csúcsok száma és az élek száma a poliéder P nem tartozó arcok F. Változások a csúcsok száma és élek, ezért csak akkor fordul elő, a pótlás arcok F túl ^. nyilván,
hogy ez a növekmény az oldalak számát egyenlő a növekmény a csúcsok száma. Ha s „- a csúcsok száma F”, és ¥ - száma széle
Következésképpen, ha az Euler-tétel érvényes a poliéder F”, akkor is érvényes a poliéder.
Vetítjük a központtól S az arcon F0 összes többi arcok a poliéder F”. Amint láttuk, sugarak származó S pont és áthalad a csúcsát a politópot D D F”, a további közös pontok vannak. Ezért, mindegyik arcok vetíti egy arc F0 át címmel konvex sokszög (ábra. 197), és a sokszög F0 lenne bomlik, amikor be konvex sokszög, amelyek száma egyenlő n-1 (m. E. A számos más funkciók. 197 arcokat).
Legyen k - a csúcsok száma a sokszög F0. Ezután a belső sokszög található s'- k előrejelzések fennmaradó csúcsai a poliéder, melyik lesz a csúcsai a sokszög belsejében fekvő sokszög F0.
Mivel minden arc az előrejelzések szerint egy sokszög az azonos számú oldala, az összeget a sík szögek a poliéder P „nélkül sarkok határán FQ egyenlő a szögek összege a sokszögek, amelyek elbontjuk arca F0. Kiszámoljuk az utolsó.
A összessége szögek csúcsai a sokszög belsejében van F0 s (SR - k). Az összeg az összes szögek csúcsai egybeesnek a sokszög csúcsait a FQ. egyenlő szögek összege a sokszög, azaz 2d (k - 2) ... Ezért megkapjuk a szükséges mennyiségű szögek:
Előző 66 67 68 69 70 71 79 Következő >>