Szerint frakció differenciálás szabályait kap

Probléma 10. Find funkció szélsőérték

Mi található a parciális deriváltak:

és vegyes származékot.

Ennek szükséges feltétele extrémuma: és

Mi megoldja az egyenletrendszert: x = 2y, 4Y - y = -9, y = -3

Így a P pont (-9; -3) a kritikus pontot. Construct expressziójának és kiszámítja az értékét a kritikus pont a P (-9; -3). Aztán, ha. A P- szélsőérték pont. Ugyanakkor, ha. akkor P - a minimális pont,

és ha. akkor F - a maximum pontot,

Ha. szélsőérték van, és ha - szélsőérték lehet vagy nem lehet. További kutatásokra van szükség.

Létrehozása a természet a szélsőérték a P pont (-9; -3).

. így, P (-9; -3) - szélsőérték pont, és mivel a P pont, függetlenül a származási, hogy a P (-9; -3) - minimális pontját a funkciót.

Integrálok lehet ajánlani. alkalmazása alapvető módszerek

integráció; módszer helyett a változó helyettesítő módszer

integrálás.

Csere :. Megtaláljuk a különbségeket a két fél a helyettesítés

vagy. Azt, hogy a változás a változó az integrandus, és megtalálja az integrál.

Az első az integrálok a jobb oldalon, írja a cserét. vagy hol. Így.

A második integrál a jobb oldalon látható táblázatban.

Szóval hol. két tetszőleges állandók mennyiségű határozatlan integrálok egyesülnek.

Kapjuk táblázatba egész típusú. Visszatérve a régi változó, van.

g). Megtaláljuk az eljárás integrálás képlet.

Az első két egyenlet különbséget teszünk mindkét oldalon, hogy megtalálja. és a második integráló találni. Kapjuk. (Itt, tetszőleges konstans integrációs nullának, mert elegendő legalább egy ponton).

Képlet alkalmazásával az integrálás,

d). Ez az integrál egy racionális függvény. Bővítjük az integrandus részleges frakciók egy ismert szabály, előre bővül a nevező faktorizációt. Aztán. ahol A, B, M, N - meghatározatlan együtthatók, amelyeket meg kell találni. Hivatkozva mindkét oldalán az egyenlet egy nevezőre, azt látjuk,

Az ilyen egyenlőséget kapcsolatok az azonos nevező csak akkor lehetséges, egyenlőség esetén a számláló, hogy van.

Egyenlővé együtthatók hasonló hatásköre x a bal és jobb oldalán az utolsó egyenlőség, megkapjuk az egyenletrendszer

Azt viszont, hogy az integráció

Íme két geometriai probléma természete számítására vonatkozó határozott integrál.

Feladat 12. Számítsuk terület az ábrán vonallal körülhatárolt

Határozat. Ábra OMA (4. ábra) határolt adatvonalak két részből áll és az OMV BMA, képviseli egyes esetekben az ívelt trapézok által határolt felső görbe, és megteszi. Így a kívánt terület kiszámítása a határozott integrál összegeként két négyzet, amelyet a képlet

Határozott integrálok által kiszámított f> rmule Newton-Leibniz. Így a terület egyenlő a OMA

Feladat 13. térfogatának kiszámításához a kapott szilárd anyagot elforgatásával

tengelye körül az ábra által határolt vonal. .

Határozat. A kötet a test forgási a képlet

Probléma 14. Keressen egy partikuláris megoldása a differenciálegyenlet

. kielégíti a kezdeti feltételek

Ez elsőrendű egyenlet lineáris, mivel teljesíti az általános alakja lineáris egyenletek. Arra törekszünk oldat formájában. hol. - differenciálható funkcióit. Aztán. Behelyettesítve. Ebben az egyenletben, megkapjuk

Egyenlővé nullára kifejezés zárójelben, és szerezzen egy egyenletet több változók vagy. vagy. Integráló egyenlet mindkét oldalát látjuk, vagy (Itt feltételezzük tetszőleges konstans nulla). Location. Behelyettesítve egyenlet. Azért jöttünk, hogy ő általános egyenlet több változó vagy. vagy. vagy. hol.

És mivel a megoldás kérik formájában. ez így lesz. This- teljes megoldást, amelyben - tetszőleges konstans. Most oldja meg a Cauchy probléma az általános megoldás az adott kezdeti feltételek határozzák meg egy adott megoldást. Ehhez behelyettesítjük az általános megoldás a kezdeti feltételek. Vagy szerezni. vagy. vagy. hol. Behelyettesítve ezt az értéket a konstans az általános megoldás, megkapjuk egy adott oldatban kielégíti a kezdeti feltételek.

Probléma 15. Keresse meg a tartomány konvergencia hatványsorba.

A konvergencia tartomány halmaza az összes pontot a konvergencia az adott sorozat. Találunk sugara konvergencia és intervallum.

Ahol. A sugár a konvergencia. Ezután az intervallum a konvergencia. Megvizsgáljuk a konvergencia végeinek az intervallumban.

1) Mi helyettesíti az elektromos sorozat. Kapjuk numerikus sorozat. Ez a sorozat divergens, ami szükséges feltétele annak konvergencia.

2) helyett a teljesítmény sorozat. megkapjuk váltakozó számsorozat. amely különbözik ugyanazon okból: az általános kifejezés hajlamos alatt 1, nem 0.

Így a régió konvergenciájának hatványsor.