Lineáris függés és függetlenség vektorok
Lineáris függés és függetlenség vektorok.
Let - skalármező & F - az annak alapjául szolgáló készlet. Let - dimenziós számtani tér felett - bármilyen rendszer helyet vektorok
Meghatározás. Lineáris kombinációja a rendszer az összege formában hol. A skaláris nevezzük együtthatók a lineáris kombináció. A lineáris kombinációt nevezzük triviális, ha legalább az egyik együtthatója eltér nullától. A lineáris kombináció triviálisnak nevezzük, ha minden együttható nulla.
Meghatározás. A készlet minden lineáris kombinációi a vektorok a rendszer az úgynevezett lineáris span a rendszer, és jelöljük. A lineáris span a rendszer tekinthető egy üres halmaz, amely a nulla vektor.
Tehát definíció szerint
Ez könnyen belátható, hogy a lineáris span a vektorok a rendszer zárt az vektor összeadás, kivonás és szorzás a vektorok vektorok által skalárokkal.
Meghatározás. A rendszer a vektorok úgynevezett lineárisan független, ha bármely skalár egyenletet következik egyenlőséget. Hagyja, hogy a rendszer a vektorok
Úgy vélik, hogy lineárisan független.
Más szóval, a véges rendszer vektorok lineárisan függetlenek, akkor és csak ha minden rendszer nem triviális lineáris kombinációja az vektorok nem egyenlő nulla vektor.
Meghatározás. A rendszer a vektorok úgynevezett lineárisan függ, hogy vannak skalárisként nem minden nulla, oly módon, hogy
Más szóval, a végső rendszer vektorok lineárisan függ, ha létezik egy nem triviális lineáris kombinációja az vektorok a rendszer egyenlő a nulla vektor.
az úgynevezett a rendszer egység vektorok a vektor tér Ez a rendszer lineárisan független vektor. Tény, hogy bármilyen skalár egyenlőség azt jelenti, egyenlőség, és ezért az egyenlőség
Tekintsük a tulajdonságok lineáris függés és függetlenség vektorok.
INGATLAN 1.1. Vektor rendszer, amely tartalmaz a nulla vektor lineárisan függ.
Bizonyítás. Ha a vektor rendszer egyik vektor, például a nulla vektor, a lineáris kombinációja vektorok az együtthatókat, amelyek nulla, kivéve az együttható egyenlő nulla vektor. Következésképpen, egy ilyen rendszer a vektorok lineárisan függ.
INGATLAN 1.2. A rendszer a vektorok lineárisan függ, ha annak bármely al-rendszer lineárisan függ.
Bizonyítás. Let - lineárisan függő alrendszer a rendszer, és legalább az egyik együtthatók nullától eltérő. Mivel ezért a rendszer vektorok lineárisan függ.
Következmény. Bármilyen alrendszer lineárisan független rendszer lineárisan független.
INGATLAN 1.3. vektor rendszer
amely lineárisan függ, ha, és csak akkor, ha legalább az egyik a vektorok egy lineáris kombinációja az előző vektorok.
Bizonyítás. Hagyja, hogy a rendszer (1) lineárisan függő, és akkor ott vannak skalárisként nem minden nulla, oly módon, hogy
Jelölje k közül a legnagyobb számban megfelelhet Ekkor (2) felírható
Vegye figyelembe, hogy mivel egyébként így. Tól (3) ebből az következik,
Tegyük fel most, hogy a vektor egy lineáris kombinációja vektorok azt megelőző, azaz. E. Ezután a T. E. A rendszer alrendszer (1) lineárisan függ. Következésképpen, a tulajdon 1,2, lineárisan függő, és az eredeti rendszer (1).
PROPERTY 1.4. Ha a rendszer lineárisan független vektor és vektor rendszer
lineárisan függő, akkor a v vektor lineáris kombinációja az vektorok
egyedülálló módon.
Bizonyítás. Szerint a rendszer állapotát (2) lineárisan függ, azaz a. E. Vannak skalárisként nem minden nulla, oly módon, hogy
Így mivel az, amely ellentmond a lineáris függetlenség a rendszer (1). Tól (3) ebből az következik,
Azáltal lineáris függetlenség a rendszer (1) az következik, hogy
INGATLAN 1.5. ha
Bizonyítás. Feltétel azt jelenti, hogy létezik skalárokkal hogy
Feltétel azt jelenti, hogy vannak olyan skalár hogy
Tekintettel (1) és (2) megkapjuk
1.2 Tétel. ha
a rendszer vektorok lineárisan függ. Proof (indukcióval on).
Feltételezzük, hogy a vektorok - nem nulla, mert különben a tétel nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy Ezután Következésképpen, a rendszer a vektorok lineárisan függ.
Tegyük fel, hogy a tétel igaz, és mi kell bizonyítani, hogy igaz. Legyen t. E.
Ha a jobb oldalon (2) minden együttható nulla, akkor, az indukciós feltevés, a rendszer a vektorok lineárisan függ, és ezért lineárisan függő és a rendszer. Ha legalább az egyik tényező az ilyen nem nulla, akkor megszünteti a vektor az első egyenletből. az eredmény
Az indukciós feltevés, (3) ebből az következik, hogy a rendszer a vektorok lineárisan függ. Következésképpen vannak skaláris nem minden nulla, oly módon, hogy
ahol Ezért a rendszer vektorok lineárisan függ.
Következmény 1.3. Ha van olyan rendszer, vektorok lineárisan függ.
Következmény 1.4. Ha igen, és a rendszer lineárisan független vektorok, akkor.
Következmény 1.5. Az aritmetikai dimenziós vektortér lineárisan függ bármilyen vektor rendszer, amely vagy egy nagyobb számú vektorok.
Következmény 1,5 következik 1.2 Tétel, mivel bármilyen dimenziós vektor egy lineáris kombinációja az egység vektorok