Lehetséges térerősségvektor
Let - folyamatos vektor mező határozza meg a régióban a tér. Azt mondják, hogy a vektor mező potenciálja a szakterületen, ha van egy skalármező. amelynek gradiens egyenlő. Tehát ez azt jelenti, hogy
Skalármező. amely kielégíti az egyenletet (3.5) van a vektor potenciál mező.
A tér által adott derékszögű koordináta rendszerben. Ezután a kiálló (3.5) a koordinátatengelyeken érkezünk a egyenletet:
Ha a koordinátákat a vektor mező folytonosan differenciálható, differenciálásával egyenlet (3.6) egy alkalmas változó, és a tétel vegyes származékok, könnyen kap a következő szükséges feltételeket potencialitást vektor mező:
Emlékezés képletű (2.13) expresszáló mátrix származékok vektor mező derékszögű koordinátákban, arra lehet következtetni, hogy a szükséges feltétele potencialitása differenciálható vektor mező szimmetrikus annak származéka mátrix.
Hagyja, hogy a vektor mező potenciálja a környéken. - a potenciális (így), és - egy sima (vagy szakaszonként sima) pálya fekvő területen. amelynek paraméteres egyenlet. .
Kiszámoljuk az integrál. Használata képletű (3.4), és figyelembe véve, hogy. megkapjuk
Szerint (1,19)
Következésképpen az egyenlőség
Egyenlet (3.8) azt mutatja, hogy a vonal-integrál vektort a potenciális területen nem függ az alak a utat, és ez attól függ, csak a kezdete és vége egyenlő a potenciális különbség a végén, és elején.
Kiderült, hogy a szerves jellemzője vektor mező nem függ az alakja a pálya nem csak szükséges, hanem elégséges feltételei lehetségesség ezen vektor területen. Más szóval, a következő teljesül
3.1 Tétel. A vektor a területen. potenciálisan akkor és csak akkor, ha a vonalintegrál ezen a területen nem függ az alakja útját.
Mi bizonyítja, hogy a függetlenség feltételének lineáris szerves vektormez®t alakja a pálya elegendő a lehetségesség. A szükségességét ez a feltétel által kifejezett egyenlet (3.8). Let - egy fix pont a környéken. Vegyünk egy tetszőleges pont és úgy egyáltalán. összekötő pont-pont és fekvő területen. Egy ilyen útvonal létezik, mivel az a terület definíció szerint több lineárisan csatlakoztatva. A hipotézis lineáris szerves vektor mező nem függ az alak a utat, így az elején a vezetékes szerves pálya mentén a területen csak attól függ a végpont. tesz
Megmutatjuk, hogy a skalármező differenciálható, és annak növekménye a ponton képviselt, mint a
hol. Definíciója szerint a színátmenet, az azt jelenti, hogy az egyenlőséget. azaz vektor mező lehetséges. A definíció egy skalármező. valamint lineáris additív tulajdonsága az integrál, megkapjuk
Hagyja, hogy a pálya pontokat összekötő és. egy szegmens. : Ez a szegmens paraméteres egyenlet állítható be. . Alkalmazása (3.4) az információt egy bizonyos lineáris integrál, megkapjuk
Mert az a feltételezés, a vektor mező folyamatosan, az egyenlőség
hol. Tekintettel (3.12) jobb oldalán képletű (3.11) formáját ölti
Kiszámítása az első félévben a jobb oldali (3,13), megkapjuk. Ami a második ciklus, rá vonatkozó átlagértéket tétel, megkapjuk. ahol - közötti szög a vektorok és a. és - egy pont az intervallumban (0,1), amelyek helyzetét határozzák meg fix vektora. Let. Aztán nyilván. Tekintettel a fentiekre egyenlet (3.11) válik
Behelyettesítve (3,14) a (3.10) vezet egyenlőségét formájában (3,9), ahol, mint már említettük, meg kell, hogy. azaz hogy a vektor mező lehetséges.
Forgalomban vektormez®
Tegyük fel, mint fent, - a vektor mező meghatározott és folyamatos néhány régióban a tér. és - egy zárt útvonalon (azaz az utat, amely egybeesik a kezdővégére). Lineáris szerves vektor mező nevezik keringési utat egy vektor mező az ilyen módon rögzített így.
Hagyja, hogy a vektor mező potenciálját, és - a benne rejlő lehetőségeket. Aztán, mint tudjuk, minden útvonal egyenlőség
ahol - a kezdeti és - a végső fordulópont. Ha az út zárva van, a kezdő és végpontjai egybeesnek ezért (4.1) egyenletnek is képviselteti magát formában. Így a forgalomban a vektor mező potenciálja körülbelül olyan zárt pályán nulla.
Megfordítva, tegyük a vektor mező bármely zárt pályán az egyenlőség. Vegyünk két módon és. Ugyanaz a kezdetét és végét. Jelöljük, mint fent, az úton, az ellenkező irányba. Aztán a végén az út egybeesik az elején a pálya. úgy, hogy van egy utat, amely utak és kombinálásával. Let. Nyilvánvaló - egy zárt pályán úgy, hogy hipotézisünk szerint az egyenlőség. Másrészt, a tulajdonságait adaptivitás és antiszimmetrikus lineáris integrál egyenletek:
Következésképpen ,. Így a vonalintegrál egy vektor mező nem függ az alak a útvonalban, úgy, hogy a szerint 3.1 Tétel, ez a vektor mező potenciálja.
Ezek az érvek azt mutatják, hogy a következő igaz
Tétel 4.1. A vektor mező lehetséges akkor, ha a vérkeringést, valamint bármely zárt pálya nulla.