Kronecker-Capelli formula és példák
Tekintsük a rendszer lineáris algebrai egyenletek (Slough) ismeretlen:
Mi írja le a alapmátrixához a rendszer és a kibővített mátrix:
Slough következetes akkor és csak akkor, ha a rangot a fő mátrix megegyezik a rangját bővített mátrix:
Ezen túlmenően, a rendszer egy egyedi megoldás, ha a rangot megegyezik az ismeretlenek száma, és egy végtelen számú megoldást, ha a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma.
A rangsorban a mátrix maximális száma lineárisan független sorok a rendszer.
Helyezett mátrix a legmagasabb rendű kiskorúak e mátrix eltér nullától.
Szabály rank mátrix számítás használatával kiskorúak
Megtalálni a rangot mátrix szükséges elmozdulni az alacsonyabb rendű a kiskorúak kiskorúak nagy megrendeléseket. Ebben az esetben, ha talál kisebb rend, melynek meghatározója nem nulla, csak arra van szükség, hogy kiszámítja a kiskorúak érdekében határos kisebb a sorrendben. Ha ezek mind nullával egyenlő, a rangot a mátrix.
Példák problémák megoldása
Vizsgáljuk meg a rendszer kompatibilitásának:
Írunk az alapvető és kiterjesztett előre meghatározott mátrix rendszer
Kiszámoljuk a soraiban ilyen mátrixok segítségével a kiskorúak. Kisebb válasszon egy nulla másodrendű mátrix:
Tekintsük kiskorúak harmadrendű, határos a kisebb és a rájuk vonatkozó meghatározó:
Így a rangot az alapvető mátrix. A kiegészített mátrix, van egy másik kisebb szegélyeket
Determinánsa nem nulla, így a rangsorban mátrix bővült. A tétel a Kronecker-Capelli is, hiszen a rendszer lineáris algebrai egyenletek nem következetes és döntéseket nem.
Ez a rendszer lineáris egyenletek nincs megoldás.
Ellenőrizze, hogy a rendszer koherenciáját. ha igen, akkor megtalálja a megoldást:
Írunk az alapvető és kiterjesztett előre meghatározott mátrix rendszer
Kiszámoljuk a soraiban ilyen mátrixok elemi transzformációk sorokat. Tekintsük a kiegészített mátrix. Első sor változatlan marad, a második sor első add szorozva, add az első és a harmadik sorban, szorozva, megkapjuk:
Ezután az első sor nem befolyásolja, csökkent a harmadik sorban, és permutálni a második és a harmadik sorban, kapjuk:
Az első két sor változatlan marad, hogy egy második harmadik szorozva 4:
Így a matricát és a három lineárisan független sorok, így a soraiban egyenlő. A tétel a Kronecker-Capelli, hiszen a rangot a fő mátrix megegyezik a rangot a kiterjesztett mátrix, és egyenlő az ismeretlenek száma, a rendszer egy egyedi megoldást. Megtaláljuk. Ehhez a legújabb mátrix, mi pedig az egyenletrendszert
Értékeit számítjuk az ismeretlen sorozat. Az utolsó egyenletet kapjuk, hogy. Behelyettesítve ezt az értéket az ismeretlen a második egyenletbe, van:
Most helyettesítheti a talált értékeket az első egyenletben az ismeretlen: