Szalvéta hajtogatás probléma • Anton Eisenberg • ismeretterjesztő feladatok a „elemek» • Matematika

Tipp 1

A döntés és a válasz attól függ, hogyan érti ezt az állapotot.

Opció megértése 1. Minden alkalommal, amikor egy síkidom egyszerűen hajtogatott mentén bármely egyenes, ábrán látható. 1. Bizonyítsuk be, hogy a kerület az ilyen műveletek nem növelhető.

Ábra. 1. Könnyű szeres: minden alkalommal, amikor egy meglévő szám van hajtva egy egyenes mentén

2. opció lehet érteni, hogyan kell hozzá semmit az eredmény egy lapos alak - mint látható. 2. By the way, megérteni, hogy miért ez a szám látható. 2. lehetetlen megállapítani egy sor egyenes hajtást, amelyet fel lehet használni az első verzió. Ezzel a feladat megértése, hogy hajtsa a lap alakú bo lshim kerülete is, bár úgy tűnik, nem valószínű (itt origami szerelmesei előny).

Ábra. 2. Az összetett redők

Tipp 2

Ez a kártya van rendelve egy második kiviteli alakja a megértés körülmények között. Idézem itt egy csipetnyi, hogyan kell egy lapját alakra amelynek kerülete nagyobb, mint az eredeti papírlapot.

Kezdjük egy négyszögletes papírlapot. Gyűjtse mit origamisty nevezett alap formájában „madár” (3.). Ez az alapja a klasszikus japán modell origami - papír daru. Crane, mi azonban nem - azok számára, akik szeretnék megtanulni, hogy elegendő információval rendelkezik az interneten. A szükséges intézkedések, hogy építsenek egy modell látható. 3 ismertetjük külön fájl.

Ábra. 3. Az alapvető formája a „madár”

Figyeljünk a fontos tulajdonságait az „dolgok”: van egy „spin” és négy meglehetősen hosszú „folyamat” (ezek a folyamatok már kiderült, hogy a két szárny, a fej és a farok a daru, ha továbbra is vegyenek részt origami helyett a probléma megoldásának) . Ha ezek a folyamatok széttárt minden irányban, akkor szeretnénk, hogy egy modell bo lshim kerülete. Azonban van egy probléma: a folyamatokat, amikor megpróbál meghajlítani őket egymástól túlságosan fedik egymást, és ennek eredményeként a kapott számokat kerülete lényegesen kisebb, mint szeretnénk.

Először is nézzük kezelni, hogy a megfogalmazás, ahol meg lehet tenni, amit szeret.

Ez a fájl bemutatja, hogyan kell módosítani a folyamatokat a daru (a tippek 2), hogy nem vesznek el hosszabb, de keskenyebb lesz. Ez a folyamat nagyon egyszerű, és egyszerűen nem történhet meg, ha korábban nem volt tapasztalatuk a hajtogatás. De próbálja meg.

Ábra. 4. „Skinny” alak, amelynek kerülete nem lesz több után laposabbá a kerülete az eredeti négyzet

Legyen egy - forrás oldalán a tér (4. ábra). Gyűjtse a szám nagyon vékony ágakat, majd a hajtogatás után nem sokat veszít hosszúságú miatt overlay. Eljárások mindegyikét, hogy egy hozzájárulás a végső kerülete körülbelül egy / 2 minden egyes a két oldalának (lásd. Ábra. 4). És ez a szám közelebb van a / 2, annál vékonyabb a hajtásokat. A határértéket, akkor kap, hogy pontosan egy minden folyamatot. De még a kerülete hozzájárul az a tény, hogy ez a „vissza” daru. Az így kapott kerülete alakzatokat lehet tetszőlegesen közel egy szám, amelyet pontosan előre 4a. Ez az!

Bár ez nem lényeges az a megoldás, akkor számíthat a hozzájárulást a „vissza”. Minden oldalon „pihenés” hozzájárul R. Ez az érték szám nézi a leolvasó modell szerint. Az ábrán a területén a papír, amelyek nyert folyamatok és többi. A hátsó elhagyja a középső kör; van egy sugara. Ez a hossza az egyik hátsó oldalán a végső modellben.

Most megmutatjuk, hogy a teljesség kedvéért, hogy kizárólag egyszerű redők, nem tudja növelni a területet. Ez azt jelenti, elemezzük az első változata a megértés a probléma megfogalmazása. Megmutatjuk, hogy egy egyszerű hajtogatással poligon mentén tetszőleges vonalat nem tudja növelni a területet, a papírdarabot. Néhány technikai „részletek” átugorja, hogy ellenőrizze a éberség az olvasó.

Ábra. 5. Miután egy egyszerű összecsukható kerületének nem tudja növelni

Nézzük 5. ábra a hajtogatás előtt a kerülete - az összege két mennyiség: a hossza a szaggatott vonal A és a narancssárga-hosszúságú barna lejtős B. Miután összecsukható kapunk két egymást részben átfedő sokszög X és Y. C. Tuck van egy hosszú pillantást, hogy része a határ a sokszög X és Y amely nem fekszik a fold (5. ábra -. bal alsó kép). A teljes hossza e határok A + B Legyen D - hossza azt a részét, a határ egyesület X ∪ Y, amely nem halad el a gyűrődések, és E - a az A rész hosszának határának átlépése X ∩ Y, amely nem adja át a gyűrődések. Ezután D + E = A + B

Megmutatjuk, hogy az E> C. Valóban, a kereszteződés X ∩ Y - egy olyan sokszög, így a határ - ez egy zárt szaggatott vonal, vagy egy sor zárt sokszög. Tehát, van egy út a u pont-pont v. áthaladó kék hurok. Az elérési út hosszának minden bizonnyal nem kevesebb, mint a távolság u v egy egyenes vonal, azaz C. Így a hossza E összes kék kontúr szintén nem kevesebb, mint C.

Továbbra is megjegyezni, hogy a kerületi alak után kapott összecsukható egyenlő C + D összhangban az előző bekezdésben, ez a szám nem nagyobb, mint E + D. azonban, E + D = A + B, és ez a kezdeti kerülete a sokszög.

utószó

Meglepő módon kiderült, a kerülete a hajtogatott formájú lehet tenni nem csak nagyobb a kerülete az eredeti lemez. Akkor lehet, hogy akkora, mint kívánatos. Az ötlet egy ilyen konstrukció megismételni szerkezet „vékony daru” a fent leírt módon, sokszor végig az egész papírlap, vízszintes és függőleges. Csak azért, mert kiderül a tengeri sün Lang. Ez lehetővé teszi, hogy tetszőleges számú vékony hajtásokat. Ez csak akkor szükséges, hogy győződjön meg arról, hogy a teljes hossza a folyamatokat lehet tetszőlegesen nagy.

A konstrukciók Lang azonban némileg tisztázatlan, matematikai szempontból pillanatokat. Az a tény, hogy a papír, mint magától értetődő origamisty eltér az ideális matematikai papír több paramétert. A legfontosabb különbség az, hogy origamisty kiépítése során modellek néha egy kicsit feszített vagy sűrített papírt, de a matematikai papírokat tilos. A matematikus nem hisz a létezését egy alak nagyobb területet, akkor is, ha tartani a kezedben: mi van, ha az illegális művelet történt a szerelés során? Ugyanakkor egy másik különbség a papír jelenlegi matematikai inkább kezére játszik matematikusok: a tökéletes papír nincs vastagsága, ezért ró rétegek száma papírt egymás tetejére, és hajlító az így kapott „szendvics” félelem nélkül, hogy eltörik, vagy fodor. Csak meg kell csinálni csak a szem előtt. Ha megpróbálja, hogy egy nagyon finom folyamatok ábrán látható. 4 - ne lepődj meg, ha kap kopott és csúnya.

Matematikailag szigorú bizonyíték arra, hogy a kerület tehető tetszőlegesen nagy (valamint a szigorú megfogalmazása a probléma) azt javasolta, Alexey Tarasov cikk előállítása Arnold probléma „összegyűrődött rubel.” Nem tudta, hogy a daru, sem a tengeri sün, és jött egy eredeti terv, amely később nevezték „fésű Tarasov.”

Az ötlet a bizonyítás a daruval, vettem egy világos és erősen vizuális cikkek A. Petrunina. Ott megtalálja a részleteket itt megadott érvek részletes történeti áttekintést, valamint kezelése más érdekes kihívás „papír geometria”: vajon lehetséges-e dobni egy papírlapot úgy, hogy a kerület a rózsa és az eredmény egy konvex sokszög?

Azt tanácsolom, továbbá, hogy az oldalon Matematikai Etudes, ahol a feladat részletesen elemezni. Van egy csomó képet, beleértve az építési fésűk szemléltető Tarasova.

Mi itt maradtunk és megoldatlan problémák. Például, még mindig nem tudom (tudom), I növeli a kerülete a Can, így csak a „félig egyszerű” szeres, ábrán látható. 6: hajlítási nem az egész vonalon, de csak végig egy szegmens.

Ábra. 6. semisimple szeres