Differenciálegyenletek, ami közös változók
Az utat a problémák differenciálegyenletek vezető egyenletek elkülöníthető változókat. Egy példa a részletes megoldások differenciálegyenletek vezető egyenletek elkülöníthető változók.
Tekintsük a differenciálegyenlet
(I),
ahol f - függvény, a, b, c - állandók, b ≠ 0.
Ez az egyenlet lehet csökkenteni egy egyenletet elkülöníthető változókat.
Áthidaló megoldás
Azt, hogy a helyettesítés:
u = ax + by + c
Itt y - függvénye az x változó. Ezért u - ez is egy függvény az x változó.
Deriválva x
u '= (ax + by + c)' = a + a '
Behelyettesítve (i)
u '= a + a' = a + b F (ax + by + c) = a + b F (u)
vagy:
(Ii)
Megosztott változót. Szorozzuk dx és ossza el a + b F (u). Ha a + b F (u) ≠ 0, akkor
Integrálása, megkapjuk az általános szerves az eredeti egyenlet (i) a terület:
(III).
Végül azt az esetet,
(Iv) a + b F (u) = 0.
Tegyük fel, hogy ez az egyenlet a n gyökerek u = ri. a + b f (ri) = 0. i = 1, 2 n. Mivel a függvény u = ri egy állandó, annak deriváltja x értéke nulla. Ezért u = ri a megoldást a (II) egyenletből.
Azonban, (II) egyenletből nem esik egybe az eredeti (I) egyenlet, és esetleg nem minden megoldásokat u = ri. kifejezve az x és y. kielégítik az eredeti (I) egyenlet.
Így, az oldatot az eredeti egyenlet általános integrál (III), és néhány gyökerei (IV) egyenletet.
Példa megoldások differenciálegyenletek vezető egyenletek elkülöníthető változók
egyenlet megoldásához
Azt, hogy a helyettesítés:
u = x - y
Differenciálható x és végre konverziót:
;
Szorozva dx és osszuk el 2 u.
Ha u ≠ 0 jutunk:
Most azt az esetet, u = 0. vagy u = x - y = 0. vagy
y = x.
Mivel y '= (x)' = 1. akkor y = x egy olyan megoldás az eredeti egyenlet (1).