Váltakozó és váltakozó sorok
Váltakozó és váltakozó sorok
1. Jelenség d'Alembert
2. Cauchy Jelenség
3. Az integrált teszt A konvergencia számos
4. váltakozó sorozat. Leibniz jel
5. váltakozó sorokban. Abszolút és feltételesen konvergens sorozat
bibliográfia
1. Jelenség d'Alembert
1. Tétel (d'Alembert-féle teszt). Adott egy számot. ahol minden> 0. Ha van egy határ
majd 0 1 a sorozat konvergál.
◄Pust határérték létezik
ahol 0 értéke 0, például,
,létezik egy számot N, hogy minden n ≥ N egyenlőtlenség
1, kezdve bizonyos N, az egyenlőtlenséget
Következésképpen 0, és eltér, mivel nem teljesíti az előírt vizsgálati konvergencia. ►
Megjegyzés. ha
Vagy nem létezik, d'Alembert-féle teszt a válasz a konvergencia vagy divergencia a sorozat nem.
Példák. Fedezze fel a konvergencia a következő sorozat:
1.
◄ erre sorozat
Alapján a d'Alembert sorozat konvergál. ►
2.
Van ◄
Ez a sorozat divergens. ►
2. tétel (Cauchy téma). Mivel számos
Ha van egy véges határérték
majd 1) konvergál 2) sorozathoz elágazik.
◄ 1) Let. Annyi q olyan, hogy. Mivel van egy határ
hol. hogy néhány index N. az egyenlőtlenséget.
Tény, hogy egy bizonyos egyenlőséget ez azt jelenti, hogy minden e, ideértve
ε =. N. van egy szám, amelynél a egyenlőtlenség
vagy hogy túl,
.
Ebből kap
A.
Így, minden tagja a sorozat, kezdve. kevesebb, mint a megfelelő feltételeket a konvergens sorozat. Alapján számos összehasonlítást
konvergál, és így a konvergencia a sorozat (1).
2) Legyen. Ezután, kezdve néhány N száma minden n> N. az egyenlőtlenséget. vagy
És a sorozat (1) eltérő. ►
Megjegyzés. Ha. majd (1) egyaránt konvergálnak, és eltérnek.
Példák. Fedezze fel a konvergencia a következő sorozat:
3. Az integrált teszt A konvergencia számos
3. Tétel (konvergencia, az integrál jel). Tegyük fel, hogy az f (x) van meghatározva, a folyamatos, pozitív és nem növeli a gerenda. majd:
1) A numerikus sorozat konvergens, ha konvergens megfelelő szerves
2) divergens ha nem megfelelő szerves elágazik (1)
◄ veszi a grafikonon az f (x) a pont a abszcisszák
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, .... xn = n
és a kivitelezést egy kétlépéses alakja, amely a hangszórók és tagjai a téglalapok ábrán látható. 1. Area Q görbe vonalú trapéz által határolt sor x = 1, X = N, Y = 0, és a görbe y = f (x) egyenlő
Vegyük az n-edik részleges összege:
S n = f (1) + f (2) + F (3) + ... + f (n),
Ezután mérete + q egyenlő a kiálló alakzatok
Q + = f (1) + f (2) + F (3) + ... + f (n-1) = S n-1
Egy négyzet alakú jelentése bejövő Q-
Q- = + f (2) + F (3) + ... + f (n) = S N - f (1).
Az építőiparban és a tulajdonságait az f (x), ebből következik, hogy
Q 0. következik (2) következik, hogy
S n 0 n = 1, 2, .... Ezért van egy határ
Mit jelent a konvergencia a sorozat.
2) Tegyük fel, hogy az integrál (1) divergál. Mivel a feltevés
f (x)> 0. az
S n ≥. n = 1, 2, ...,
azaz sorozat divergens. ►
1. példa Teszt a konvergencia tartományban
◄ itt. Köztudott, hogy a nem megfelelő szerves
konvergál ha p> 1, és eltér a p ≤ 1. Ezért, a sorozat konvergál a p> 1 és széttartóvá
p ≤ 1. Különösen, ha p = 1 megkapjuk a harmonikus sor
2. példa Teszt a konvergencia tartományban
◄ Ebben az esetben a funkció és
= (Arctg b-arctg 1) =,
azaz integrál
konvergál, és így a konvergencia a sorozat. ►
3. példa Vizsgálati konvergencia tartományban
◄ Mivel az általános kifejezés a sorozat adott. majd válassza ki a funkciót.
helytelen szerves
eltér, ezért számos túlságosan eltérő. ►
Megjegyzés. Az alsó határ az integráció nem megfelelő szerves
vehet tetszőleges, például egyenlő a, ahol a ≥ 1 - tetszőleges számú.
4. példa Annak vizsgálatára, a konvergencia
◄ Mivel az általános kifejezés a sorozat
majd függvényében take
Mivel a nem megfelelő szerves
konvergál, akkor konvergál és az eredeti sorozat. ►
Abban az esetben, konvergencia alkalmazott módszer a bizonyítéka a konvergencia az integrál jel, ez biztosítja a becsült hiba fordul elő, amikor a helyébe lépő összegek részleges összeget.
Legyen az f (x) kielégíti a 9. Tétel, számos
konvergál és összege megegyezik S. Meg lehet mutatni, hogy ebben az esetben a konvergál, és a nem megfelelő szerves
Úgy becsüljük, amely előre meghatározott számú Rn maradékot Van
Így, a hiba kapott összeget helyett S konvergens sorozat
annak n-edik részösszegként Sn. nem haladja meg az integrál.
5. példa: Állítsa be a konvergencia
és megbecsülni a hiba helyett annak összege S5.
◄ Itt
Mivel a szerves jel konvergál. Jelöljük az összeg a sorozat S és feltételezik, hogy
S ≈ S5. majd
S ≈ S5 ==
Úgy becsüljük, R5 hiba. van
6. példa Rate n-edik maradékot konvergens sorozat
4 váltakozó sorozat. Leibniz jel
Definíció. számsorozatok
a1 - A2 + A3 - ... + (- 1) N - 1an + ...,
ahol minden szám pozitív egy, az úgynevezett váltakozó.
Példa. sor
Ez egy váltakozó, és számos
váltakozó nem.
Egy váltakozó sorozata már a következő konvergencia kritérium, amely az úgynevezett Leibniz tag.
Tétel 4 (Feature Leibniz). Tegyük fel, hogy a váltakozó sorozat
a1 - a2 + a3 - ...
számsorra
a1> a2> a3> ... Aztán a sorozat konvergál, és annak összege S pozitív, és meghaladja az első ciklus:
◄ hogy egy még S2N részösszegként ez a sorozat, és írd formájában
S2N = (a1 - a2) + (a3 - a4) + ... + (a2n-1 - a2n).
A feltételek a tétel, hogy a különbség a zárójelben pozitív, és így, S2N> 0,
ahol N növelésével S2N részösszegként növekszik. Ez az összeg felírható
és így:
S2N = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5) - ... - (a2n-2 - a2n-1) - a2n.
Itt minden konzol pozitív, ami azt jelenti, hogy
letöltés fedlapot