Limit arányának két polinom

A korlátok, ami lesz szó ebben a témában, az alábbi formájú $ \ lim_ \ fracx ^ + a_x ^ + a_x ^ + \ ldots + a_x + a_n> x ^ + b_x ^ + b_x ^ + \ ldots + b_x + b_m> $. Nem kell használni egy ilyen terjedelmes rekord, jelöljük $ P_n (x) = a_x ^ + a_x ^ + a_x ^ + \ ldots + a_x + a_n $ és $ Q_m (x) = b_x ^ + b_x ^ + b_x ^ + \ ldots + b_x + b_m $. Ezután a határ, amely szentelt ezt a témát, hogy a forma $ \ lim_ \ $ frac, ahol a $ P_n (x) $ - polinomiális n-edrendű (vagy n-ed-fokú), és $ Q_m (x) $ - polinomja m-edik érdekében. Például, ha $ \ lim_ \ frac $ mi aránya hetedik rendű polinomot (vagyis $ 4x ^ 7-5x ^ 2 + $ 78) és a másodrendű (azaz, $ 89x ^ 2 + 8x-96 $ ). Természetes, hogy mi érdekli a különböző kapcsolatos bizonytalanság a külső $ \ lim_ \ frac $. Az ilyen bizonytalanság lehet két csoportra oszthatók:

Ezen az oldalon nézzük meg az eljárás határozatlan formában típusú $ \ frac $. Disclosure bizonytalanság $ \ frac $ a második része ebben a témában.

Közzététele bizonytalanság $ \ frac $.

Reakcióvázlat standard oldatainak példák az ilyen típusú általában két lépésből áll:

• Spread a számláló vagy a nevező (vagy mindkét helyen) faktoring;
• Csökkentése tényező, hogy a bizonytalanság, és számítsuk ki a kívánt értéket a limit.

Faktoring hasznos lehet néhány képlet, hogy írni fogok az alábbiakban:

Ezen kívül azt feltételezzük, hogy az olvasó ismeri a képletet Másodfokú egyenletek megoldása. Ha a $ x_1 $ és $ x_2 $ - gyökerek egy kvadratikus trinomiális $ ax ^ 2 + bx + c $, majd bontsa azt a faktorizáció a következők lehetnek:

Megjegyezzük, hogy a képletek alkalmazásával (1) - (5) gyakran kissé nehéz, ezért jobban hasznosítja a Horner rendszer. A példákban, amelyre most lépni, az összes fenti magyarázzuk részletesen.

akkor a limit adtunk a bizonytalanság formájában $ \ frac $. A cél a további változás faktorizálni a számláló és a nevező a frakció. Ehhez két lehetőség van: a használata képletek (1) - (5), illetve a felhasználásra Horner rendszert.

Az első módszer a faktoring

Alkalmazzuk a képlet №3. faktorizálni kifejezése $ x ^ 3 + $ 8. Behelyettesítve ezen képletek $ a = x $ és $ b = 2, van:

Tehát, $ x ^ 3 + 8 = (x + 2) (X ^ 2-2x + 4) $. Térjünk át a faktorizációja a nevező $ 3x ^ 2 + 10x + 8 $, ezzel a képlet №5. Ahhoz, hogy ezt a képletet, akkor először meg kell megoldani a másodfokú uravenie $ 3x ^ 2 + 10x + 8 = 0 $:

Bit egyszerűsítése kifejezése $ 3 \ cdot (x + 2) \ left (x + \ frac \ right) $. Vnesom tényező $ 3 $ a második zárójelben:

$$ 3 \ cdot (x + 2) \ left (x + \ frac \ right) = (x + 2) \ cdot \ left (3 \ cdot x + 3 \ cdot \ frac \ right) = (x + 2) ( 3x + 4). $$

Tehát, hogy a nevező: $ 3x ^ 2 + 10x + 8 = (x + 2) (3x + 4) $. Visszatérünk ezt a korlátot, és az eredmények:

Egy további megoldás az, hogy csökkentse zárójelben $ (x + 2) $, ami bizonytalanságot okoz $ \ frac $. Csökkentés után csak írni a válasz lesz a konzol:

A második módja a faktoring

Használja Horner rendszer. Mivel a $ x = -2 $ van $ x ^ 3 + 8 = -8 + 8 = 0 $ és $ 3x ^ 2 + 10x + 8 + 8 = 12-20 = 0 $, akkor a $ (- 2) $ - a gyökér a polinom $ x ^ 3 + 8 $ $ 3x ^ 2 + 10x + 8 $. Következésképpen, ezek a polinomok megoszlanak egyenletesen a konzol $ (x - (- 2)) = (x + 2) $. Szigorúan véve, ez a konzol és bizonytalanságot okoz $ \ frac $ e limit. Osszuk $ x ^ 3 + 8-as $ $ x + 2 $ segítségével Horner szabályt.

$$ \ begin 1 0 0 8 \\ \ hline -2 1 -2 4 0 \ end \\ x ^ 3 + 8 = (X - (- 2)) (1 \ cdot x ^ 2-2 \ cdot x + 4) = (x + 2) (X ^ 2-2x + 4). $$

Most használd a Horner rendszer a szétválás a polinom $ 3x ^ 2 + 10x + 8 $ és $ x + $ 2:

$$ \ begin 3 10 8 \\ \ hline -2 3 4 0 \ end \\ 3x ^ 2 + 10x + 8 = (X - (- 2)) (3 \ cdot x + 4) = (x + 2) (3x + 4). $$

Ezekkel faktorizációhoz kapjuk:

Ebben az esetben, a számláló és a nevező, van:

\ begin \ Lim_ (2x ^ 4-7x ^ 3-4x ^ 2-7x-es + 28) = 2 \ cdot4 ^ 4-7 \ cdot 4 ^ 3-4 \ cdot 4 ^ 2-7 \ cdot 4 + 28 = 0; \ \ \ Lim_ (5x ^ 3-19x ^ 2 + 8x-48) = 5 \ cdot 4 ^ 3-19 \ cdot 4 ^ 2 + 8 \ cdot 4-48 = 0. \ end

Mióta $ x \ 4 $ számláló és a nevező általában nulla ugyanakkor, foglalkozunk a bizonytalanság formájában $ \ frac $. Ahhoz, hogy kiderüljön, a bírók bizonytalanság, szükséges, hogy figyelembe polinomok a számlálóban és a nevezőben. Erre a célra a Horner séma akkor alkalmazható. Azt ossza polinom $ 2x ^ 4-7x ^ 3-4x ^ 2-7x-es + 28 $ és $ x $ -4:

$$ \ begin 2 -7 -4 -7 28 \\ \ hline 4 2 1 0 -7 0 \ end \\ 2x ^ 4-7x ^ 3-4x ^ 2-7x-es + 28 = (X-4) (2 \ cdot x ^ 3 + 1 \ cdot x ^ 2 + 0 \ cdot X-7) = ( X-4) (2x ^ 3 + x ^ 2-7). $$

Most osszuk $ 5x ^ 3-19x ^ 2 + 8x-48 $, hogy $ x $ -4:

$$ \ begin 5 -19 8 -48 \\ \ hline 4 5 1 12 0 \ end \\ 5x ^ 3-19x ^ 2 + 8x-48 = (X-4), (5 \ cdot x ^ 2 + 1 \ cdot x + 12) = (X-4) (5x ^ 2 + x + 12). $$

Visszatérve az eredeti határ, van:

Lehetőség van, amelyben a Horner rendszer lesz, hogy többször kell alkalmazni. Ilyen eset tekinthető példában №3.

Ebben az esetben, a számláló és a nevező, van:

Mióta $ x \ 1 $ számláló és a nevező általában nulla ugyanakkor, foglalkozunk a bizonytalanság formájában $ \ frac $. Ahhoz, hogy kiderüljön, a bírók bizonytalanság, szükséges, hogy figyelembe polinomok a számlálóban és a nevezőben. Erre a célra a Horner séma akkor alkalmazható. Horner program itt kell majd többször felhasználható. Kezdjük egy polinom $ 2x ^ 5-5x ^ 4 + 7x ^ 3-11x ^ 2 + 11x-4 $, ami lesz osztva egy binomiális $ x-1 $:

$$ \ begin 2 -5 7 -11 11 -4 \\ \ hline 1 2 -3 4 -7 4 0 \\ \ hline 1 2 -1 3 -4 0 \\ \ hline 1 2 1 4 0 \ End \\ 2x ^ 5-5x ^ 4 + 7x ^ 3-11x ^ 2 + 11x-4 = (x-1) ^ 3 \ cdot (2x ^ 2 + x + 4). $$

Horner rendszer alkalmazható részlege a polinom $ 9x ^ 4-18x ^ 3 + 11x ^ 2-4x + $ 2 $ X-bab $ 1:

$$ \ begin 9 -18 11 -4 2 \\ \ hline 1 9 -9 2 -2 0 \\ \ hline 1 9 0 2 0 \ End \\ 9x ^ 4-18x ^ 3 + 11x ^ 2-4x + 2 = (x-1) ^ 2 \ cdot (9x ^ 2 + 2). $$

Visszatérve az eredeti határ, van:

Kapcsolódó cikkek

• Kiszámítása határok alkalmazásával L'Hospital-szabály