Burkolási • Haidar Nurligareev • ismeretterjesztő feladatok a „elemek» • Matematika

Egyszerű parketta burkolat síkjában egyenlő oldalú háromszög, négyzet vagy hatszög (a fedés értjük, felrakás, amelyben a tetején minden szám csak azokra a tetejét szomszédos darab, és nincs helyzet, amikor tisztelték a vertex oldalon). Ilyen tilings ábrán látható. 1.

Ábra. 1. csempézés a gépet: i - egyenlő oldalú háromszög, ii - terek, iii - szabályos hatszögek

Nincs más szabályos n -gons terjed sík hézagmentesen és átfedés nem fog működni. Itt van, hogyan magyarázzam meg. Mint ismeretes, az összeget a belső szögek egyenlő a n-szög (n - 2) · 180 °. Mivel a szögek egy szabályos n-szög azonos, a mértéke az intézkedés minden szög. Ha a gépet lehet csempézett, mint a számok, akkor konvergál k sokszög (valamely k) minden csúcs. A szögek összege ebben vertex kell 360 ° -os, de. Miután néhány egyszerű transzformációk ez az egyenlet válik ez :. De ez könnyen ellenőrizhető az utolsó egyenlet csak három pár oldatok, ha azt feltételezzük, hogy n és k természetes számok: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 és k = 6, n = 3. Ezeket számpárok pontosan megfelel ábrán látható. 1 fedés.

És mi más sokszögek képes lefedni egy sík hézagmentesen és átfedés?

a) Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben csempe a gépet.

b) Mutassuk meg, hogy bármely négyszög (konvex és nem konvex) can csempe a gépet.

c) Adjon példát olyan ötszög, amely képes lefedni egy síkban.

d) példát egy hatszög, ami lehetetlen, hogy fedezze a síkra.

d) Adjon például n-szög minden n> 6, amely képes lefedni egy síkban.

Tipp 1

Bekezdés a), c), d), akkor próbálja meg, hogy ugyanazokat a számokat a „csík”, amelyek aztán könnyen csempe az egész gép.

B rész): fold a két azonos négyszögek hatszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak. Ezek hatszög csempe a gépet már elég egyszerű.

Bekezdés d): A tény, hogy a szögek összege minden egyes csúcsban egyenlőnek kell lennie 360 ​​°.

Tipp 2

Ahogy akkor próbálja d) lépésben cselekedni másképp: egy kis változás a meglévő számokat kapni az új kirakást.

utószó

A probléma a csempézés síkjából ugyanazokat a számokat hézagmentesen és átfedés ősidők óta ismert. Egyik különleges esetekben - az a kérdés, hogy mit lehet parkett (azaz tilings a sík szabályos sokszögek és nem feltétlenül azonosak.), És különösen a megfelelő padlót. Helyes parketta van egy ilyen tulajdonság, hogy segítségével a párhuzamos fordítások (eltolódásokat anélkül forgatások), amely konvertálja a parketta, lehet kombinálni egy előre kiválasztott csomópont bármely más csomóponttal parkettát. Ábra. 1-től a feltétel ábrázolt csak a megfelelő szót.

Nem túl nehéz bizonyítani, hogy már csak 11 különböző típusú rendszeres tilings (lásd. Listája egységes tilings). Ezt bizonyítja körülbelül ugyanaz, mint mi a probléma, bebizonyították, hogy csupán három típusú padló ugyanazon szabályos sokszögek - fokú intézkedések szögek minden szabályos sokszög ismertek, csak meg kell értük, hogy az összeg fordult 360 °, és csak egy kis teljes keresési lehetőségek. Sok régi mozaikok, amelyek alapján a parketta cikkben.

Ábra. 7. A fennmaradó 8 típusa tilings. A fényképek a helyszínen en.wikipedia.org

Mozaikok agyag, kő és üveg (és parkettával, fából és csempe) - a legismertebb és érthető ezen elmélet alkalmazásához az életben. Sokan közülünk Ennek ellenőrzéséhez megy a konyhában vagy a fürdőszobában. Jövő tervezők kifejezetten vizsgálták matematikai parkettával, mert ők és eltérések gyakran használják az építészetben és a dekoráció.

Ábra. 8. geológiai képződmények Cape oszlopos (Kunashir Island. Big Kuril-szigetek)

Burkolási a természetben megtalálható. Amellett, hogy a jól ismert méhsejt legszembetűnőbb példa - a földtani közeg Cape oszlopos (Kunashir Island, egy nagy gerincen a Kuril-szigetek) és a „Óriások útja” Észak-Írország.

Ábra. 9. „Óriások útja” (Észak-Írország). Képek az oldalról ru.wikipedia.org

A általánosítása feladatok - cserép tér - fontos része a modern krisztallográfia, ami fontos szerepet játszik az integrált optika és lézer fizika.

Ironikus, amíg a viszonylag utóbbi időkben is ismert volt, csak a periodikus tilings (amelyek teljes mértékben igazodik velük egy bizonyos eltolási és az ismétlés). Azonban 1974-ben az angol tudós, Roger Penrose feltalált aperiodikus mozaikok, amelyeket most ő tiszteletére nevezték Penrose fedés. Később (1984-ben) ezeket a nem-periodikus struktúrák fedeztek fel kvázikristályok.

Ábra. 10.Sleva. Roger Penrose áll a Penrose fedés. Jobbra. Példa Penrose mozaik. Képek az oldalról en.wikipedia.org

A Penrose csempézések oldalon talál egy csomó példa Penrose csempézések részletes leírását a finomságok azok átvételét.

Ábra. 11. MC Escher "hüllők" 1946 (balra) és a "Pillangók" 1950

Parketta és mozaik találhatók a vizuális művészetek. Talán a leghíresebb munkája a holland MC Escher (M. C. Escher).

QUOTE.
Helyes parketta a következő jellemzőkkel bír: (.) ​​Ezzel párhuzamosan fordítást, amely lefordítja a parketta, akkor össze egy előre kiválasztott csomópont bármely más csomóponttal parketta.
Idézet vége.

Véleményem szerint ez a baj. korrigálni:

Helyes parketta a következő jellemzőkkel bír: (.) ​​Ezzel párhuzamosan és forgató amelyek átviszik a parketta, akkor össze egy előre kiválasztott csomópont bármely más csomóponttal parketta.

Ahhoz hogy ezt, hogy nincs rotáció bármilyen módon, csak nézd meg a képet bármilyen jog parketta, kivéve a csak a megfelelő parketta, tagjai teljesen azonos számok - csak háromszögek, négyzetek, csak egyetlen hatszög.

ZY. De általában tetszett rejtvényeket.

Köszönöm a korrekt megállapítás: csak párhuzamos fordítás valóban nem elég. Azonban néhány rendszeres tilings elég, még párhuzamos fordítások és fordulatok. Például, minden egyes csomóponthoz, amelyek összetartanak négyzet, hatszög és tizenkét szög.
Nem lenne helyes azt mondani, hogy a párhuzamos eltolás, forgatás és a szimmetria, ami lefordítja a parketta, akkor lehet kombinálni előre kiválasztott csomópont bármely más csomóponttal parketta.

A jobb oldali ábrán a választ a feladat) - nincs cserép, hiszen van egy csatlakozási szög egy 5-szög a másik oldalra. Csempék kell egy kis mozgás az egyik a „csík” (fél a konfliktus oldalon).