Az integráló tényező
Tekintsük a differenciálegyenlet az űrlap \ [P \ bal (\ right) dx + Q \ left (\ jobbra) dy = 0, \] ahol \ (P \ bal (\ right) \) és \ (Q \ left (\ jobbra) \) - a függvénye két változó \ (x \) és \ (y, \) folyamatos régió \ (D \) Ha a \ [\ frac >> \ ne \ frac >>, \] egyenlet egy egyenlet nem teljes eltérés. Azonban, próbáljuk felvenni az úgynevezett integráló tényező. amely függvénye \ (\ mu \ left (\ jobbra), \) úgy, hogy amikor megszorozza a differenciálegyenlet transzformáljuk a közönséges differenciálegyenlet. Ebben az esetben az egyenlőség: \ [\ frac \ right)> \ right) >>> = \ frac \ right)> \ right) >>> \.] Ez a feltétel felírható: \ [>> + \ mu \ frac >> = P \ frac >> + \ mu \ frac >>,> \; \; >> - P \ frac >> = \ mu \ left (>> - \ frac >>> \ right)>. \] Ez a kifejezés jelentése parciális differenciálegyenlet az elsőrendű, amely meghatározza a integráló tényező \ (\ mu \ left (\ jobbra). \)
Sajnos, nincs általános módszer megtalálására integráló tényező. Ugyanakkor tudjuk megemlíteni néhány speciális esetben, amelyre meg tudjuk oldani a kapott parciális differenciálegyenlet, és ennek eredményeként, hogy meghatározza integráló tényező.
1. A integráló tényező függ a változó \ (x: \) \ (\ mu = \ mu \ left (x \ right) \.)
Ebben az esetben mi \ (\ nagy \ frac >> \ normalsize = 0, \) úgy, hogy az egyenlet \ (\ mu \ left (\ right) \) felírható: \ [\ frac \ frac >> = \ frac \ left (>> - \ frac >>> \ right). \] A jobb oldalon az egyenlet legyen csak egy funkciója \ (x \.) A függvény \ (\ mu \ left (x \ right) \) találhatók, integrálása az utolsó egyenletet.
2. Az integráló tényező függ a változó \ (y: \) \ (\ mu = \ mu \ left (y \ right) \.)
Hasonlóképpen, ha a \ (\ nagy \ frac >> \ normalsize = 0, \), megkapjuk egy közönséges differenciálegyenlet meghatározására integráló tényező \ (\ mu: \) \ [\ frac \ frac >> = - \ frac\ Left (>> - \ frac >>> \ right) \], ahol a jobb oldali csak attól függ, \ (. Y \) függvény \ (\ mu \ left (y \ right) \) egy integrációs az egyenlet.
3. Az integráló tényező függ egy adott kombinációját változók \ (x \) és \ (y: \) \ (\ mu = \ mu \ left (\ right)> \ right) \).
Az új funkció \ (\ right)> \) lehet, például, típus: \ [Z = \ frac, \; \; \; Z = xy, \; \; \; Z = +, \; \; \; z = x + y, \] és így tovább.
Fontos, hogy az integráló tényező \ (\ mu \ left (\ right) \) függvénye lesz egy változó \ (z: \) \ [\ mu \ left (\ right) = \ mu \ left (z \ right) \], és megtalálható a differenciálegyenlet: \ [\ frac \ frac >> = \ frac >> - \ frac >>>>>> - P \ frac >>>> \] azt feltételezzük, hogy a jobb oldalon az egyenlet függ. csak \ (z \), és a nevező nem nulla.
Az alábbiakban leírjuk néhány példát egyenlet \ [P \ bal (\ right) dx + Q \ left (\ jobbra) dy = 0, \], melyek megtalálhatók integráló tényező. Általános feltételek megléte integráló tényező jelenik meg az elmélet Lie-csoportok.