A Newton-Leibniz
Tekintsük a funkciót. Ezt a funkciót nevezik: az integrál függvényében a felső határ. Megjegyzendő, hogy ez a funkció több tulajdonsággal bír.
Tétel 2.1. Ha f (x) integrálható az [a, b] funkciót, majd a F (x) folytonos az [a, b].
Bizonyítás. By ingatlan 9 határozott integrál (középérték-tétel), mi, hol, mikor, megkapjuk a kívánt eredményt.
Tétel 2.2. Ha f (x) folytonos az [a, b] funkciót, akkor F „(x) = f (x) az [a, b].
Bizonyítás. Property által 10 egy határozott integrál (második középérték-tétel), van, ahol a c - valamikor a intervallumban [x, x + H]. A folyamatos f jutunk
Így, F (x) - egyike a primitívek f (x) tehát P (x) = f (x) + C, ahol F (x) - egy másik primitív az f (x). Továbbá, mivel az F (a) = 0, 0 = F (a) + C, tehát a C = -F (a), és így F (x) = f (x) - F (a). Feltételezve, X = b, megkapjuk képletű alaptételének
Integrálás a határozott integrálok
Bizonyos konzervált szerves integrálás. Ebben az esetben azt formájában
Változás a változók egy határozott integrál
Az egyik változata az eredmények változását változók egy bizonyos következő integrálok.
Tétel 2.3. Legyen f (x) - folytonos a [a, b] és kielégíti az alábbi feltételeket:
1) # 966, (# 945;) = a
2) # 966, (# 946;) = b
3) a származék # 966; „(t) jelentése mindenütt [# 945;, # 946]
4) minden t a [# 945;, # 946]
majd
Bizonyítás. Ha F (x) primitív f (x) dx akkor F (# 966; (t)) primitív Ezért, F (b) - f (a) = F (# 966; (# 946;)) - F (# 966, (# 945;)). Ez azt bizonyítja, a tétel.
Megjegyzés. A visszavonáskor a folytonosság az f (x) Tétel 2.3 szükséges megkövetelni monoton # 966; (t).
Példa. Számoljuk az integrál dx = 2tdt Majd így
Javasoljuk továbbá a megoldásának lehetősége integrálok az interneten.