Tulajdonságai nem negatív mátrixok - studopediya
Bemutatjuk ezek a tulajdonságok bizonyíték nélkül. Ebben a szakaszban, az A betű jelöl egy négyzetes mátrix nem negatív bejegyzés, N- készlet, amely az első n pozitív egész szám.
Definíció. Legyen S ⊆ N, S „= N - S. Azt mondják, hogy a beállított S izoláljuk, ha aij = 0. amint ∈S”, j ∈ S. Az fogalmát meghatározza a szigetelés S elismeri a gazdasági értelmezése szempontjából Leontyev modell szerint. Így izolálása az S halmaznak a modellben Leontyeva azt jelenti, hogy az ipar, amely tartozik a beállított S. számok nem kell előállított áruk szektorok számok tartoznak S „set. Ha az új számozás kódokat úgy, hogy S =, S „=, amely megfelel a szimultán csomópont sorok és oszlopok a mátrix A. válik
ahol az A1 és A3 négyzet részmátrixának a mérete K x K és (n - k) × (n - k), ill.
A mátrix az úgynevezett irreducibilis. ha a beállított N nem izoláljuk részhalmazait, azaz, ha egyidejű permutációját sorok és oszlopok nem lehet csökkenteni, hogy a forma (2.8). Irreducibilis mátrix Leontief modell azt jelenti, hogy minden egyes iparban használnak legalábbis közvetve, a termékeket az ipar minden területén.
Megjegyezzük, néhány egyszerű tulajdonságai felbonthatatlan mátrixok.
a) Nem redukálható mátrixnak nulla sorok és oszlopok.
b) Ha az A mátrix irreducibilis és y> 0, akkor Ay T> 0.
c) Legyen y ≥ 0, y ≠ 0; azután a vektort z = (E + A) y T kisebb, mint nulla koordináták, mint az y vektor. ha lehetséges. Továbbá, ha A jelentése felbonthatatlanok x ≥ 0, x ≠ 0 egyenlőtlenség Ax T ≤ # 945; x azt jelenti, hogy
g) 1. Tétel (Frobenius - Perron a spektrális tulajdonságai nem negatív mátrixok).
1. Irreducibilis mátrix pozitív sajátérték # 955; És ez az, hogy az összes többi modul a sajátértékek A mátrix nem haladja meg # 955; A.
2. szám # 955; A válasz csak (egy skalár tényező> sajátvektor? A. Minden koordinátákat nem nulla, és azonos előjelű (vagyis. E. választható pozitív). A sajátvektorok? A pA mátrixok és AT, illetve és a C fogják hívni Frobenius .
Jegyezzük meg, hogy ha A felbonthatatlan, akkor # 955; A jelentése az egyetlen sajátérték amelynek van egy nem-negatív sajátvektor. Irreducibilis mátrix kerül meghívásra stabil. Ha bármilyen x vektor szekvenciát Egy k x, k = 1,2, ..., konvergál. Példa mátrix nem stabil:
Irreducibilis mátrix nevezzük ciklikus. Ha n = a beállítani, hogy osztható m diszjunkt részhalmazát, hogy ha aij> 0, i ∈ Sr, R ≥ 1, akkor j ∈ Sr-1. és ha i ∈ S0 j ∈ Sm-i. A többi nem redukálható mátrix úgynevezett primitív.
Tétel 2.Primitivnaya rezisztens mátrix. Ez a tétel kapcsolatot hoz létre a mátrix tulajdonságainak, hogy stabilak legyenek a megjelenését. Azonban, az ingatlan a mátrix, hogy stabil és teljes mértékben határozza meg a tulajdonságait a spektruma - több sajátértékek. A következő állítás igaz.
Irreducibilis nem negatív mátrix stabil, ha, és csak akkor, ha az egyenlőtlenség | # 955; |<λA для любого ее собственного числа λ ≠ λ А .