Határozza meg a meghatározása és a számok a vektor Frobenius nemnegatív mátrix
№1. Határozza meg a meghatározása és a számok a vektor Frobenius nemnegatív mátrix. Fogalmazza meg a tétel Frobenius-Perron.
Definíció. A maximális modulus sajátérték λA negatív mátrix az úgynevezett Frobenius száma A mátrix, valamint a megfelelő nem-negatív sajátvektorának - vektor Frobenius A.
Tétel: 1) λA - ingatlan nem negatív szám. Van egy nem negatív sajátvektorának ennek megfelelő sajátérték. 2) Ha A> 0, akkor λA> 0, és van egy pozitív sajátvektor.
2. számú Bizonyítsuk be a következő nyilatkozatot teszi: ha> 0 - sajátvektorának nemnegatív mátrix. ez a vektor Frobenius.
Jelöljük α sajátérték tartozik vektor. ezért. A egyenlőség A = α. Megszorozzuk balról és azok figyelembevételével A = λA. Van egy = λA úgy, hogy α = λA. Mivel a feltételezés> 0, ez nem egyenlő nullával, úgyhogy α = λA. amely kiegészíti a bizonyíték.
№3. Bizonyítsuk be a következő nyilatkozatot. Legyen s és s egy minimális és egy maximális mennyiségű elemeinek oszlopainak A. Ezután számú λA Frobenius mátrix a kielégíti s T A = 1. A? ? A = λA? ? A;
№4. Vedd asztal és strukturális egyenlet Leontief input-output mérleg trehotraslevoy gazdaság modellje; jelzik a gazdasági jelentőségét a érték egyenlet. Record számítási képlet Leontyeva mátrix elemei az ismert szerkezeti elemeket asztal szakmaközi egyensúlyt.
? ? - input-output egyenlete (EQ Leontiev). Vektor bruttó kibocsátás -? ?. mátrix közvetlen költségek - A, a végtermék vektor - ?. Aij =? ?. hol? ? - a termelés volumene ágazat i elfogyasztott ipari termelés j ,? ? - bruttó kibocsátás j iparban.
№.5 állam és bizonyítani első hatékonysági kritérium, azaz tétel, hogy a mátrix A≥0 produktív, ha, és csak akkor, ha a mátrix? (E-A) -1? van is nem negatív.
Legyen ott? (E-A) -1? ≥0, akkor x = (E-A) -1 * y, ahol mindkét faktor> 0, tehát. x≥0, és ezért produktív mátrix. Legyen produktív. (E-A) X = e1. Ez azt jelenti, c1 ≥0, (E-A) X = e2. s2 jelenti ≥0 ezért. (C1, C2, CN) = C≥0. (E-A) C = E≥C = (E-A) -1 ≥0
№6. Igazoljuk, hogy ha egy nem-negatív négyzetes mátrix produktív, a Frobenius szám kisebb, mint 1.
Hagyja, nemnegatív mátrix produktív. Ekkor minden nem-negatív vektor van egy megoldás. Let. akkor nyilván. Megszorozzuk a bal oldalon a bal oldali vektor Frobenius és figyelembe véve. hogy. Kapjuk. vagy. Mivel mind. . akkor. . Ezért az utolsó egyenlőséget.
№ 7. Fogalmazza meghatározás állomány termelékenységét nemnegatív mátrix. Képletek kiszámításához termelékenység az állomány a Frobenius számát.
Legyen A> 0 - produktív mátrix. Stock termelékenység mátrix nevezzük szám α> 0, hogy az összes mátrixok λA, ahol 1 1 = 1 / ((1-A11) (1-A22) - (A21 * A22)) * | 1-A22 -a21 |
Modell egyensúlyi ár: P = A T p + v, ahol a vektor v = (v 1. v 2. ..., v n) T - vektor szabványok hozzáadott értéket. Amint látjuk, a kapott egyenletek nagyon hasonlít a modell Leontief egyenlet, az egyetlen különbség. hogy a vektor x helyébe a p vektor, az y vektor - egy v vektor, a mátrix helyébe a ültették - A T.
Az egyensúlyi ár a modell lehetővé teszi, tudva az érték a szabályok hozzáadott érték, megjósolni az árak termelési ágazatok. Azt is lehetővé teszi, hogy előre az árváltozásokat és az infláció eredő árváltozások egyik ága.
№9. Mondjon példát lineáris programozási feladatok minimálisra (a probléma az étrend) és maximum (a probléma a források felhasználását): a módosítások a szöveget, és a matematikai megfogalmazása a probléma.
A probléma az étrendben. Tegyük fel, hogy 2 típusú P1 és P2 termékeket. tápanyagokat tartalmazó A, B, C 1 kg termékek P1 és P2 tartalmaznak egy bizonyos mennyiségű tápanyagot egy adott típusú.
Ismeretes: a, b, c - fogyasztás napidíj A, B és C esetében.
s1, s2 - a költsége 1 kg terméket P1 és P2, illetőleg.
Kiszámításához szükséges mennyiségű terméket P1 x1 és x2 száma P2 terméket úgy, hogy a szükséges mennyiségű tápanyagot min termékek költségeit.
A matematikai probléma a diéta, hogy megtaláljuk az értékek ismeretlenek x1. x2. kielégíti az alábbi feltételeket:
A probléma a források felhasználását. Hagyja, hogy a háromféle erőforrás R1. R2. R3 állnak mennyiségben rendre b1, b2, b3 USD
T1, T2 - iparcikk most.
aij - számú erőforrás egységet Ri (i = 1, 2, 3) köteles egy egységnyi áru Ti (j = 1, 2).
C1, C2 - jövedelem egységek minden egyes típusú áruk, ill.
x1. x2 - száma termékek T1, illetve T2.
A matematikai probléma a források felhasználását, hogy megtaláljuk az értékek ismeretlenek x1. x2. kielégíti az alábbi feltételeket:
№ 10. Hozd készítmény teljes ZLP. Adjuk meg a következő feltételekkel: a célfüggvény. a megvalósítható sor a problémát, az optimális megoldást, az optimális készlet.
Ha a célfüggvény és a rendszer korlátai lineáris, azaz. E., amelyek mindegyike formájában a1 x1 + x2 a2 + ... + an xn + b, a matematikai programozási feladat az úgynevezett lineáris programozás feladata (ZLP).
A gyakorlatban gyakran vannak olyan helyzetek, amikor a elér egy bizonyos eredményt nem lehet. és számos különböző módon. Amikor a megoldások sok, keresi a legjobb. Matematikailag ezt csapódik le, hogy a probléma: találni max (perc) f (x), azzal a megkötéssel, hogy az X változó tartományok feletti néhány korábban ismert sokaságát X. f (x) max (perc), x ε x.
Ezt a problémát az úgynevezett probléma optimalizálás. Több X nevezzük elfogadható sor a feladatok és az f (x) - a célfüggvény. Ez nem csak a megállapítás maga az érték max (min) f. de a pont vagy pontok, ha több. ahol ez az érték eléréséig. Ezek az úgynevezett optimális megoldásokat. A készlet optimális megoldások nevezzük optimális készletét, és jelentésük, X *.
Száma. 11. Mi a formanyomtatványt a lineáris programozási probléma? Mi a kanonikus alakja lineáris programozási probléma? Adj egy példát a probléma, amelynek az alakja sem kanonikus és nem szabványos. Hogy ezt a problémát, hogy a kanonikus és formanyomtatványok.
ZLP kanonikus formában, amellett, hogy a korlátozásokat a triviális magában csak az egyenletek (példa szállítási ZLP)
Formanyomtatvány ZLP az csak egyenlőtlenségek, beleértve a triviális korlátai.
1. példa: Hogy ezt a ZLP kanonikus formában.
Példa 2. Ólom ZLP előre meghatározott szabványos formában.
Xi> = 0 xi> = 0
Száma 12. algoritmus alapján a grafikus módszer. konstrukció két lineáris programozási problémák az azonos f célfüggvényt (x1. x2) = X1 + X2. amelyek közül az egyikben csak egy maximum pontot, és a többi - végtelen számú minimális pontot. Megvalósítható régióban a probléma látható a rajzon, és adja meg a rendszer egyenlőtlenségeket.