Basis vektorok és rang rendszer, ingyenes dolgozatok, esszék és értekezések
Definíció. Rendszer vektorok lineáris kombinációja a vektor rendszer B. Ha bármilyen vektor egy lineáris kombinációja egy véges alrendszer vektorok B.
Egyértelmű, hogy ha. akkor A lineárisan expresszálódik cherezV:
Definíció. Két rendszer egyenértékű. ha kifejezve egymást.
Megjegyzés. ...
A ekvivalens aránya vektor rendszerek az összes tulajdonságait absztrakt ekvivalencia reláció:
Tétel. Legyen B - lineárisan független alrendszer vektorok rendszer. akkor a megfelelő három nyilatkozatai:
1. A rendszer vektorok lineárisan kifejezve vektorok az alrendszer.
2. A rendszer a vektorok és a kapcsolódó vektorok. ahol egy - bármilyen vektor A. Ez lineárisan függ.
3. A rendszer vektorok nem létezik lineárisan független alrendszerek számos vektorok, több, mint a rendszer.
Bizonyítás. A feltételezés, a rendszer egy lehet véges vagy végtelen, de az alrendszer - csak véges (a tétel a maximális számú lineárisan független vektor).
1. lépés: Tegyük bizonyítani. Tekintsük a rendszert. ahol - bármilyen vektor. Mivel lineáris kombinációjával a B. Böngésszen a lineáris függését a rendszer lineárisan függ, azaz a 2) teljesül.
2. feltétel azt jelenti, hogy a B a leginkább független alrendszer rendszer A.
2. lépés fogjuk bizonyítani. Let - bármely lineárisan független alrendszere A. Vegye bármilyen vektor. Tekintsük a rendszert. amely a 2. feltétel lineárisan függ. Ezután megfelelő szállást 3 lineáris függés vektor lineáris kombinációja alrendszerek között. Következésképpen, az összes a vektorok lineárisan független al vektorok lineáris kombinációi az alrendszerek B száma és a vektorok nem haladja meg a számát vektorok B.
3. lépés: Tegyük bizonyítani. Tekintsünk vektor és ezek képezik a rendszer. ahol a vektorok 1 nagyobb, mint a B. Ezért, a tulajdonság 3 lineáris függés vektor egy lineáris kombinációja a vektorok B. És így a lineáris kombinációja vektorok az alrendszer B.
Definíció. Basis vektorovA rendszer bármely lineárisan független alrendszer B., amelyen keresztül lineárisan kifejezett összes vektor sistemyA.
Definíció. Basis vektorovA rendszer bármely maximális lineárisan független alrendszer.
Példa. Állítsa be a kétdimenziós egység vektorok. alapját képezik egy kétdimenziós térben; Ligában kétdimenziós térben egyenlő kettő.
1) A rendszer egyenértékű vektorok bármelyike, az aljában.
2) A vektorok számát az összes bázisok azonos.
Bizonyítás. Legyen B és - két alap vektorok rendszer. és. n - a vektorok számát V. m - vektorok számát. Ezután B lineárisan független és lineárisan kifejezett és. A változó szerepek és. Kapunk. Így. # 9632;
Definíció. A helyezés vektorovA rendszer a vektorok számát annak bármely alapon.
Definíció. A helyezés vektorovA rendszer maximális számát a lineárisan független vektorok.
Ez jelölt rang vagy megcsörrent A. vagy rang A. vagy R (A).