Ciklois - természetesen projekt oldala
.ugah) és lesz egy cikloist.
Mi létre egy másik fontos tulajdonsága a ciklois és meg kell kérni, hogy tegye azt az alapot a tanulmány ezen görbe.
Tekintsük MTT1 háromszög (ábra. 21) által képzett függőleges átmérője a generáló kör érintő a ciklois és a rendes hozzá.
Kommunikáció a magasságát és dőlésszögét az érintő
Szög MT1T. mint írt kör egyenlő fele a központi által bezárt szög azonos ív, t. e. egyenlő. Döntetlen MK || AB és ME ┴ AB. NE szegmens jelentős szerepet játszanak a jövőben, így adja meg a nevét és a szimbólum: hívjuk magassága M cikloid és betűvel jelöljük h. Így a magassága az M pont a ciklois van annak távolság a vezető vonal.
Ügyeljen arra, hogy a szög a KMT. Ő egyenlő szög MT1T. A háromszög TMT1 get:
és TCM háromszög:
Ötvözi ezeket az eredményeket, és megjegyezve, hogy a CT = h, végül megkapjuk:
Mi kifejezett magassága M a bezárt szög tangense a ponton M és a függőleges (vízszintes, továbbra is úgy vélik, az irányt a vonal AB). Most kifejezetten a sine a szög a magasságot. Nyilvánvalóan kapjuk:
ahol k értéke keresztül kapott eredmény egy állandó egy adott ciklois kifejteni Tétel.
4. Tétel szinusza közötti szög tangense a ciklois azon a ponton, M és a négyzetgyök arányos a függőleges magasság pont M.
Ez a tulajdonság, akkor nyilvánvaló, hogy bármilyen cikloist. Felmerül a kérdés: mennyiben az ingatlan jellemzi cikloist: Van minden görbe az ingatlan minden bizonnyal cikloist? Be tudjuk bizonyítani, hogy ez pontosan mi a helyes és a következő (inverz) tétel:
Tétel 5. Ha az adott AB egyenesre és az M pont, az egyetlen görbe, amely kielégíti a 4. tétel és áthalad az M pont, akkor cikloid.
A sugara ennek ciklois generáló kör kapcsolódó K tényező, említett 4. tétel, a következő összefüggést:
(Természetesen a távolság M AB kisebbnek kell lennie, mint a 2a.)
A szigorú bizonyítás E tétel útján az elemi matematika nagyon nehézkes, és adunk itt nem.
Ha a feltétel az 5. tétel nem említi, hogy a kívánt görbe áthalad előre mondta M pont, akkor nem egy, hanem végtelen számú cikloisok amelyet akkor nyerünk, egymástól párhuzamosan eltolódik irányában AB vonal (amelyek közül az egyik átmegy az M pont, a másik keresztül M1 és M2 keresztül harmadik t. d.). Ez a beállítás, vagy ahogy nevezik, cikloist családi ábrán látható. 22.
5.Parametricheskoe cikloist egyenlet és az egyenlet derékszögű koordináta
Tegyük fel, hogy adott ciklois által alkotott sugarú kör egy középre a ponton A.
Ha kiválasztott paraméter helyzetének meghatározására az a pont, a szög t = ∟NDM ami viszont sugara, amelyet az elején a gördülő függőleges helyzetben f AO, x és y koordinátái az M pont a következőképpen fejezhető ki:
X = OF = BE - NF = NM - MG = at-a sin t,
y = FM = NG = ND GD = a a cos t
Tehát cikloist paraméteres egyenletek:
T Ha a berendezéssel -∞ és + ∞ görbe alapján, amely egy számtalan elágazása, amely ezen az ábrán látható.
Tehát mellett cikloist paraméteres egyenleteket ott és annak egyenlete derékszögű koordináta:
r, ahol a kör sugara alkotó ciklois.
6. problémák találni részei a cikloid és számok alakított cikloist
Feladat №1. Keresse meg a területet az ábra által határolt egyik íve cikloist amelynek egyenlete parametrikusan meghatározott
Határozat. Hogy oldja meg ezt a problémát, használjuk a jól ismert tények az elmélet integrálok, nevezetesen:
A terület a hajlított szektorban.
Tekintsünk egy függvény r = r (φ), definiált [α, β].
Azt feltételezzük, hogy az r és φ a poláris pont koordinátáit. Ezután minden
φ0 ∈ [α, β] megfelelő R0 = r (φ0), és így, M0 pont (φ0, r0), ahol φ0,
r0 poláris pont koordinátáit. Ha φ változik, fut a teljes [α, β], a variábilis M pont leírására görbe AB, egy előre meghatározott
egyenlet r = r (φ).
Meghatározás 7.4. Ívelt szektor nevezzük ábra által határolt két sugár φ = α, φ = β AB és a görbe megadott poláros
koordináták az alábbi egyenlet szerint R = R (φ), α ≤ φ ≤ β.
Tétel. Ha a funkció R (φ)> 0, és folytonos [α, β], majd a területet
görbe vonalú szektor a következőképpen számítjuk ki:
Ezt a tételt bizonyított korábban a téma a határozott integrál.
A fentiek alapján a tétel, a feladat megtalálni a számok által határolt területen a boltív egy ciklois, amely adott paraméteres egyenlet x = a (t sin t). y = a (1 cos t). és az x-tengely, csökken a következő megoldás.
Határozat. Egyenletből görbe dx = a (1-cos t) dt. Először arch cikloist felel meg a változás a t paraméter 0 és 2π. ezért
Feladat №2. Keresse meg a hossza egy boltív a ciklois
Szintén a integrálszámítás vizsgálták alábbi tétel és következménye.
Tétel. Ha a görbe AB adja y = f (x), ahol f (x) és az f (x) folytonos [a, b], majd AB rectifiable