Fourier módszer a megoldás a hő egyenlet, szabad dolgozatok, esszék és disszertációk
Keressen egy funkciót kielégítő. egyenlet
Fizikailag meg kell találni a hőmérséklet eloszlása a rúd hossza l. a kezdeti időben. és véget ér a nulla hőmérsékleten
Teploproodnosti kapott helyett az egyenlet, a két közönséges differenciálegyenletek;
Ahhoz, hogy egy nem-triviális megoldás kielégítő homogén peremfeltételek, meg kell találni a nem-triviális egyenlet megoldásai:
. kielégíti a peremfeltételeket
Csakúgy, mint az oldatban a homogén határ érték problémát a hullám egyenletet ki lehet mutatni, hogy a ...
mert
Van egy nem-triviális megoldás n = 1,2,3
Postan. Shturman- probléma?
Hogy oldja meg a T kapjuk:
Ezután a funkciók - saját funkcióit az eredeti határ érték probléma megfelelő sajátértékek
és rendre az oldatot az eredeti határ érték probléma; így a hivatalos sorozat:
. követelve, hogy megfeleljen. kezdeti feltételek
- funkció hőtágulási együttható Fourier-sor a bűnnek tartományban 0-tól n.
Tegyük fel, hogy kétszer folytonosan differenciálható. működéséhez
. akkor a teljes megoldások számát konvergál és funkciók teljesen és egyenletesen, mint:
Összege ezért ez a sorozat folyamatos a környéken. és ebben a tartományban az megfelel a kezdeti és peremfeltételek.
Tekintsük az általános határ érték probléma
Annak érdekében, hogy megoldja ezt a problémát igyekszünk megoldást formájában:
Akkor lesz a funkció megoldást a következő határ érték probléma:
- az új kiinduló feltétele funkció
Így függvény kielégíti az egyenletet:
Következésképpen, a kezdeti feladatot egyszerűsíteni és csökkenteni, hogy megtalálják a funkció
A határ érték probléma
Osszuk 2. feladat:
Mi a probléma megoldására a megállapítás a funkciót. keresünk megoldást formájában:
Nagyítás A függvény Fourier-sor bűnben kapni:
Behelyettesítve a bemutató:
Egyenlővé megfelelő együttható azonos bűn, megkapjuk a végtelen számú egyenletek
A megoldás erre a problémára, amint az a megoldás a hullám kevert probléma képviselheti egy konvolúciót az alábbi funkciók
Mi helyettesíti a megoldást találtak a képviselete a funkciót.
határozat második feladat.
Megoldás