Diszkrét matematika algoritmusok
Euklideszi algoritmus
Ő jól ismert algoritmus Euclid találták, hogy megoldja a problémát, a összemérhetõségének két szegmensben. A közös intézkedés a szegmensek hosszúságú L 1 és L 2 jelentése a szegmens a lehető legnagyobb hossza L., amely lehet fektetni anélkül, hogy maradékot az első intervallumot, és a második. Mint ismeretes, az algoritmus a következő. Minél kisebb a szegmens (L hosszúság 2) illeszkednek a nagyobb (L hosszúság 1) a lehető legnagyobb számú, mondjuk egyszer 1. majd marad vágási hossza L 1 - 1 L 2 L, amely jelöli 3. ismételje meg a műveletet, majd 2 liter és L 3 és T. d. munka algoritmus véget ér a lépésben, például k. amikor amelyet az előző lépésben intervallumban L k +1 kerül a szegmens L k egész szám alkalommal. A válasz L k 1.
Extended euklideszi algoritmus
Egy kicsit hozzáadásával euklideszi algoritmus, állíthatjuk elő a segítségével egész együtthatós x és y. amelyekre
(A. B) = GCD (a. B) = a x + b y
GCD - legnagyobb közös osztó (legnagyobb közös osztó)
Óra euklideszi algoritmus
Legyen E (m. N) lépéseinek száma euklideszi algoritmust alkalmazzuk a természetes számok n és m. Messze a legtöbb jól ismert függvény eredménye e (m. N) található a francia matematikus Gabriel Lamé (Gabriel Lamé, 1795-1870) az első felében a 19. század (1844) felső kötött:
e (. m n) ≤ [logφ 5 1/2 (max (m n) + 1/2.)] - 1, ahol φ = (1 + 5 1/2) / 2
Ez a becslés a pontos és megvalósíthatók szomszédos Fibonacci számok: m = F k +1. n = F k.
Proof és különböző értelmezések az euklideszi algoritmus, lásd [5].
összehasonlítások modulo
Két egész és b nevezik egybevágó modulo m. amikor egy - b osztható m.
a ≡ b (mod m) ↔ m | (A - b)
Minden egész összehasonlítható egyik egész számok modulo m.
Maradék Z gyűrű / n Z
Minden maradékok modulo n formában gyűrűmaradék, jelöljük Z / n Z. Az elemek száma a gyűrűben Z / n Z egyenlő n-nel. Például, a gyűrű a Z / Z 6 áll 6 elemek :.
Műveletek a Z gyűrű / n Z
Ennek elemei gyűrű összeadni, kivonni, és szaporodnak, mint a közönséges számokat. Például, a gyűrűben Z / Z 6 következő egyenletek teljesülnek:
2 + 3 ≡ 5 (mod 6)
Április 3-5 ≡ (mod 6)
2 ≡ 2 · 4 (mod 6)
A szétválás a Z / n Z
A szétválás a Z / n Z gyűrű nem mindig lehetséges. Például, a Z / Z gyűrű 8 nem lehet osztva 2 1, 2, de lehet osztva 3 (kapcsolja 6). Azzal, amit csatlakozik lehetetlensége osztály bizonyos esetekben? Ahhoz, hogy megértsük ezt, meghatározzák, mi ezt a felosztást.
Tegyük fel, hogy kapnak egy egyenlet
a x ≡ b (mod m)
Ebben a és b - a paraméterek x - ismeretlen.
Ha ilyen X létezik, és csak akkor X az úgynevezett hányadosa b egy.
Átírjuk ez az egyenlet a következő:
Nyilvánvaló, hogy ha b nem osztható (a. M), akkor nincs megoldás, és a szétválás lehetetlen. (Ez az, miért nem lehet osztani 2 Z / 8 Z), hogy megoldja ezt az egyenletet találunk x. y. oly módon, hogy
Mivel b = w (a m.), Kapjuk:
b = a (x W) + m (y w)
Tehát azt találtuk, az egyik megoldás, hogy az egyenlet egy x ≡ b (mod m) könnyen azt mutatják, hogy ez az egyenlet lesz pontosan (a. M) megoldásokat.
Így a Division B egy a Z / n Z csak akkor lehetséges, abban az esetben, ha (a m.) = 1. Ha n - egyszerű osztás a Z / n Z minden elem más mint nulla.
moduláris aritmetika
Moduláris aritmetika alapul az úgynevezett kínai maradéktétel (CTO). Ie 100 körül. e. Kínai matematikus Sun Tzu (Sun-Tsu) úgy döntött, a következő probléma: találni száma, amely, ha elosztjuk 3, 5, 7, 2-es, 3, 2, ill.
Kínai maradéktétel
Legyen n = n 1 n 2 ... n k. Sőt, az n szám 1. n 2 ..., n k viszonylag fix. Tekintsük a levelezés
ahol az a i - a fennmaradó részlege n i. Ezután ez ad egy egy-az-egyhez megfelelés közötti Z / n Z és Z / n 1 Z × ... × Z / n k Z.
Euler függvény
Euler függvény φ (a) van definiálva minden természetes szám, és a számot jelent egész szám 1 és egy elsődleges, hogy a. példák:
Mi a φ (239)?
Könnyen azt mutatják, hogy a Euler funkció multiplikatív, azaz, bármely n és m úgy, hogy (n. M) = 1 teljesül
φ (n m) = φ (n) φ (m)
Nyilvánvaló, hogy egy egyszerű p egyenletet:
φ (p) = p - 1,
φ (p n) = P n -1 (p - 1)
Ezek a tulajdonságok lehetővé teszik, hogy gyorsan kiszámítja az Euler-függvény, ha tudjuk, hogy a bomlás n törzstényezős.
Érdekes módon, míg vannak olyan n. cp (n) = 239?
Euler és Fermat-tétel
Tétel (Euler)
Ha m> 1 és a (. A m) = 1 a következő igaz:
Egy φ (m) ≡ 1 (mod m)
Tétel (Farm)
Bármely p prímszám, és minden természetes joga az alábbiak szerint:
p ≡ a (mod p)
dichotóm hatványozás
Moduláris hatványozási fontos szerepet játszik az ellenőrzés során a számok az egyszerűségre, valamint az RSA titkosítási rendszer.
primitív gyökerek
Legyen p - elsődleges. Aztán, mint tudjuk, Z / p Z egy területen. Eljárás levonása a> 0 az a legkisebb pozitív egész szám, m olyan, hogy
egy m ≡ 1 (mod p)
Szerint a kis Fermat-tétel, legalább egy ilyen m létezik (és egyenlő p -1).
Minden prime p, ott aminosavig érdekében o g -1.
Az így levont g egy primitív gyök modulo p.
Könnyen azt mutatják, hogy az ilyen maradványok vannak pontosan φ (p-1).
Tól Riemann hipotézis (lásd. [3], p. 112), hogy a legkisebb primitív gyök p korlátozódik O (log p 6).
Ellenőrizze primality
A legegyszerűbb módja annak, hogy ellenőrizze a számot n egyszerűség - keresés osztók (próba osztás).
Teszt alapján Kis Fermat-tétel
Sekély Fermat-tétel kimondja, hogy ha n prím, akkor a következő feltétel: ha az összes összehasonlítás zajlik
a n -1 ≡ 1 (mod n) (1)
E tételből, hogy ha az összehasonlítás (1) nem teljesül legalább az egyik egy sor, akkor az n - vegyületet. Ezért tudjuk javasolni a következő valószínűségi teszt egyszerűség:
- válasszon ki egy véletlen szám, és ellenőrizze végre (a n.) euklideszi algoritmus feltétel = 1;
- Ha ez nem teljesül, akkor a válasz «n - kompozit";
- Megvizsgáljuk a megvalósíthatósági összehasonlítás (1);
- ha az összehasonlítás nem teljesül, akkor a válasz «n - vegyület";
- ha az összehasonlítás, akkor a válasz nem ismert, de lehetséges, hogy ismételje meg újra a tesztet.
a n -1 ≡ 1 (mod n)
Valószínűségi Miller-Rabin teszt
Legyen n - páratlan és n - 1 = 2 s t. t - páratlan.
Ha n prím, akkor minden a> 1 le
a n -1 ≡ 1 (mod n)
Ezért figyelembe véve az elemek Látható, hogy közülük bármelyik az azonos feltételekkel -1 (mod n), vagy egy T ≡ 1 (mod n).
Ez a megfigyelés alapul, a következő vizsgálati valószínűsége az egyszerűség:
- válasszon egy véletlen számot az intervallumot és ellenőrizze keresztül (a n.) Euclid algoritmus feltétel = 1;
- Ha ez nem teljesül, akkor a válasz «n - kompozit";
- Kiszámítjuk a t (mod n);
- Ha egy t ≡ ± 1 (mod n), akkor menjen az 1. lépésre .;
- Kiszámítjuk a 2 t. ..., egy s -1 t 2-ig, amíg -1;
- Ha egyik sem ezek a számok nem egyenlő a -1, akkor a válasz «n - vegyület";
- Ha elértük a 1, akkor a válasz nem ismert (és a vizsgálat megismételhető).
A vegyület száma nincs meghatározva, mint egy vegyületet egy valószínűsége 1/4 (lásd [1].).
Ha igaz, kiterjesztett Riemann hipotézis, ez elegendő ahhoz, hogy ellenőrizze az összes olyan (cm. [3]).
Alkalmazás. Egyes koncepciók algebra
Definíció. A mező egy sor K két adott ez bináris műveletek + és ·, amelyek megfelelnek a következő feltételeknek:
- (A + b) + c = a + (b + c) és (a • b) · c = a · (b · c) minden a. b. c ∈ K (asszociatív)
- a + b = b + a és a · b = b · a minden egy. b ∈ K (kommutatív)
- a · (b + c) = a • b + a · c minden egy. b. c ∈ K (disztributivitás)
- Vannak elemei 0 és 1 az úgynevezett nulla és egy, illetve úgy, hogy a + 0 = a • 1 = a minden a ∈ K
- Bármely elem esetében a ∈ K létezik egy elem b. úgy, hogy a + b = 0 (a létezését az ellentett)
- Bármely elem esetében a ∈ K. nem egyenlő nullával, van egy elem c. oly módon, hogy a · c = 1 (reciprok létezését)
Definíció. Ring (vagy kommutatív gyűrű) van a beállított R két előre meghatározott bináris műveletek rajta + és +, amelyek megfelelnek a következő feltételeknek:
- (A + b) + c = a + (b + c) és (a • b) · c = a · (b · c) minden a. b. c ∈ R (asszociatív)
- a + b = b + a és a · b = b · a minden egy. b ∈ R (kommutativitás)
- a · (b + c) = a • b + a · c minden egy. b. c ∈ R (disztributivitás)
- Vannak elemei 0 és 1 az úgynevezett nulla és egy, illetve úgy, hogy a + 0 = a • 1 = a minden a ∈ R
- Bármely elem esetében a ∈ R van egy elem b. úgy, hogy a + b = 0 (a létezését az ellentett)
Definíció. Csoportok olyan G egy művelet meghatározott rajta +, amely megfelel az alábbi feltételeknek:
- (A · b) · c = a · (b · c) minden a. b. c ∈ G (asszociatív)
- Van egy 1 elem, az úgynevezett egység. oly módon, hogy a · 1 = 1 · a = egy minden a ∈ G
- Bármely elem esetében a ∈ G van olyan b. oly módon, hogy a • b = b · a = 1 (fordított elem meglétét)
irodalom
Mihail Lukin, római Satyukov
Köszönöm, nagyon hasznos. )