Megoldás Cauchy D'Alembert - studopediya
Előadás 15. MEGOLDÁSÁT Cauchy probléma hullámegyenletre
Mi jelent a Cauchy probléma a homogén hullám leíró egyenlet homogén szabad rezgések a húr, azaz Megtaláljuk a megoldást az egyenlet
kielégíti a kezdeti feltételek
Ez a probléma (15.1), (15.2) is megoldható d'Alembert.
Make a átmenet a kanonikus forma egyenlet (15.1) általános integrálok a karakterisztikus egyenlet (13.3). Esetünkben ez az egyenlet a következő alakú:
Ezért, C1 és C2 definiáljanak jellemzők egyenlet. Ezután az átalakulás a független változók (13,5) a formája
Kiszámítjuk az új változókat:
és helyettesítjük őket egyenletet (15.1)
Miután a vágások kap
Integráció az egyenlet ad
Visszatérve az x és y. végre van
Funkció egy egyenlet megoldása (15,1), ha az I1 és I2 - tetszőleges kétszer differenciálható függvények. Az oldatot (15,4), ki kell választania a funkciók I1 és I2 úgy, hogy kielégítse a kezdeti feltételeket (15.2)
Integrálása egyenlet (15.6) közötti tartományban x0 x. megkapjuk
Annak lehetővé tétele együtt egyenlet (15.5) és (15.7) képest u1 (x) és u2 (x), megkapjuk
Behelyettesítve (15,8) és (15,9) az oldatban (15,4), végül kapjuk a megoldás a Cauchy probléma a homogén hullámegyenlettel
Egyenlet (15.10) nevezik d'Alembert képletű homogén hullám leíró egyenlet homogén szabad rezgések a húrok. Ez a képlet adja a klasszikus oldatát (15,1) - (15.2) csak a feltételezés, hogy a funkció-származékok akár másodrendű, és a funkció -, hogy az első.
A megoldás a Cauchy probléma inhomogén hullám leíró egyenlet kényszerrezgés homogén karakterlánc
megfelel a kezdeti feltételek
lehet megkapni a képletből
Ez a képlet a d'Alembert. A kapott oldat a Cauchy probléma az inhomogén hullám leíró egyenlet kényszerrezgés homogén karakterlánc.
Példa 15.1. Keressen egy egyenlet megoldása
kielégíti a kezdeti feltételek
▲ Ahhoz, hogy megtalálja a megoldást az eredeti Cauchy problémát a d'Alembert képlet (15.10)
Végső megoldás az eredeti probléma formájában
15.2 példa. Keressen egy egyenlet megoldása
kielégíti a kezdeti feltételek
▲ Ahhoz, hogy megtalálja a megoldást az eredeti Cauchy problémát a d'Alembert képlet (15.10)
Végső megoldás az eredeti probléma formájában
Példa 15.3. Keressen egy egyenlet megoldása
kielégíti a kezdeti feltételek
▲ Ahhoz, hogy megtalálja a megoldást az eredeti Cauchy problémát a d'Alembert képlet (15.13)
Végső megoldás az eredeti probléma formájában