Phase portrék lineáris másodrendű rendszerek
Ahhoz, hogy megkapjuk a leíró egyenletek a fázis portré a másodrendű rendszer, szükség van a rendszerben a differenciálegyenletek (12,6), a második egyenletet oszlik első és megszünteti a megfontolásból a t idő, így:
Megoldás az egyenlet ad egy család szerves görbék a fázis sík, amelyen a fázis pályák épít rendszert.
Phase portrékat másodrendű lineáris rendszerek által minősített típusú egyes pontokat.
Egy lineáris másodrendű rendszer által leírt egyenlettel
ahol y (t) - a kimeneti koordináta-rendszert; a0. a1, a2 - állandó együtthatók. Jelölő y (t) = y1 (t) ,, majd egyenlet (13.1) lehetnek írásos
Elosztjuk a második egyenletben az első kap
amelynek megoldás az egyenlet a fázis trajektóriák
ahol ci - integrációs állandók.
Hat különböző fázisú pályákat függően a gyökerek a karakterisztikus egyenlet 2 A2S + A1S + a0 = 0.
A rendszer a határ a stabilitás.
Graph y1 (t) ábrán látható. 13.1. Ahhoz, hogy az egyenlet a fázis pályáira (13,8) és (13,9) négyzetre, és egymásra, így egyenlet
Csillapítatlan periodikus ingadozások a rendszerben megfelel a fázis síkban pályáját a zárt fázisban. A szinguláris pont a rendszer a geometriai középpontjában a fázis pályák és ismert, mint a központ, és a rendszer az úgynevezett konzervatív.
Ábra. 13.1. A fázis portré a típusú létesítmény: a) A gyökerek a sík
a karakterisztikus egyenlet; b) az átmeneti folyamatban; c) a fázis portré
Az egyenlet megoldása (13.4) a formája
Ábra. 13.2. A fázis portré típusának folyamatos összpontosítás: a) a helyét a gyökerek
a karakterisztikus egyenlet; b) az átmeneti folyamatban; c) a fázis portré
Egyenletek (13.11) és (13.12), így a fázis síkban paraméteres egyenlet spirálok. Minden forgatás, amely megfelel egy időszak az oszcilláció reprezentatív pont közeledik a eredetű, hiszen az értékek y1 és y2 időszakra oszcilláció kisebb lesz.
Az egyetlen pont az úgynevezett stabil hangsúly.
Ábra. 13.3 A fázis portré a típusú instabil fókusz: a) a helyét a gyökerek
a karakterisztikus egyenlet; b) az átmeneti folyamatban; c) a fázis portré
Instabil egyensúlyi állapotban a rendszer megfelel egy adott pont, amely az úgynevezett egy instabil fókusz (ábra. 13.3v). A rendszer rezgési folyamat játszódik amplitúdó növekedésével.
4. eset Roots - valódi negatív, ha a1> 4a0a2; a0> 0, a1> 0, A2> 0: s1, 2 = - # 945; ± b (ábra 13.4a.) # 945; = A1 / (2A2), - a rendszer stabil. Ez az eset megfelel aperiodikus folyamatot a rendszerben, a rendszer stabil. Az egyenlet megoldása (13,14)
Border területek átmeneti 1. és 2. típusú egyenesek a egyenletek y2 = -s2y1 és Y2 = -s1y1.
Minden fázisban pályagörbék ömlött be a származási - egy speciális pont úgynevezett állandó csomópont (ábra 13.4.). Az utazási idő egyensúlyi állapotban elméletileg végtelen.
Ábra. 13.4. Fázis portré típus állandó csomópont: a) helyét a gyökerek
a karakterisztikus egyenlet; b) az átmeneti folyamatban; c) a fázis portré
Ábra. 13.5. A fázis portré a típusú instabil csomópont: a) a helyét a gyökerek
a karakterisztikus egyenlet; b) az átmeneti folyamatban; c) a fázis portré
A fázis pályák vannak irányítva a származási a végtelenig. A szinguláris pont nevezzük labilis csomópont (ábra. 13,5). Extrém pályája határozza meg az egyenleteket y2 = s1y1 és y2 = s2y1.
A konkrét esetben az, amikor a1 = 0, és, tekintettel arra, hogy a0 <0, решение уравнения (13.6) запишется в виде
Egyenlet (13.19) az egyenlet egy család egyenlő oldalú hiperbola. Hiperbola aszimptotákkal: y2 = ± wu1. Mind a aszimptotái három fázisú nyomvonalát, azaz egy szinguláris pont tekintik az egyik fázis pályák és az úgynevezett nyereg.
Aszimptotát a fázis síkban nevezzük szeparatrixokkal a nyereg (ábra. 13,6). Két szeparatrixokkal reprezentatív pontján közelít az egyensúlyi állapotot, és a másik két tőle.
Saddle egy instabil egyensúlyi állapot. Zavarások vezet az a tény, hogy a képviselő pont távolodik az egyensúlyi állapotot, és üti a szomszédos utat végtelenségig eltávolítjuk rajta.
Ábra. 13.6. A fázis portré a nyereg: a) a helyét a gyökerek
a karakterisztikus egyenlet; b) az átmeneti folyamatban; c) a fázis portré