Cauchy probléma - ez
numerikus megoldás módszerek közönséges differenciálegyenletek. A Cauchy probléma az úgynevezett. feladata annak megállapítása, a funkció vagy több funkciót, amelyek megfelelnek egy vagy, illetve a rendszer differenciálegyenletek és figyelembe az előre meghatározott értékek valamilyen fix pont. enged
- vektor funkció meghatározott és folytonos az intervallum, illetve és ahol a zárt régió - egy norma dimenziós térben R n. Ebben a jelölési K. s. Egy rendszer közönséges differenciálegyenletek az 1. megbízás írásos formában
Bemutatjuk megfelelő új ismeretlen funkciójú vezethet ez a fajta határ érték probléma. minden rendszer közönséges differenciálegyenletek bármilyen sorrendben. Az oldatot (1) létezik, ha az f (x, y) a .nepreryvna P. Ehhez az oldathoz csak annyi, hogy megfelelnek a feltételt O t, hogy y E a:
ahol a függvény w (t) - olyan, hogy
vagy erősebb Lipschitz állapota:
Az érték Lnaz. Lipschitz konstans. Ha az f (x, y) az y .nepreryvno differenciálható, a Lipschitz konstans, mint lehetséges, hogy a mennyiség
Értékelés (3) a Lipschitz konstans (4) bizonyos esetekben túl durva a sikeres alkalmazásához a numerikus módszerek megoldására határ érték probléma. annak ellenére, hogy van egy elméleti és ez az egyetlen megoldás erre a problémára. Ez akkor fordul elő, különösen azokban az esetekben, ahol a sajátértékek a „nagy spread”, azaz a. E. A legnagyobb sajátértéke a több száz vagy akár több ezer szer nagyobb, mint a legkisebb sajátérték. Az ilyen rendszerek, úgynevezett differenciálegyenletek. merev rendszerek és a kapcsolódó feladatokat - merev Cauchy probléma. Az egyik forrás merev rendszerek csökkentése parciális differenciálegyenletek, hogy egy olyan rendszer közönséges differenciálegyenletek, pl. módszerrel vonalak.
Numerikus módszerek közönséges differenciálegyenletek általában egy vagy több kapcsolatok összekötő funkciója ismeretlen y (x) .A diszkrét ponton szekvenciát x k. k = 0, 1 készlet k-ryh nevezett. net. Alapjai numerikus módszerek általában, és különösen a differenciálegyenletek rakták Euler (L. Euler). Nevéhez hívják az egyik legegyszerűbb módszer megoldására határ érték probléma. to-nek a következő. Legyen a feladat megoldása (1) a szomszédságában x k egy Taylor-sor
Ha a nagysága x-x k, kicsi, a visszadobás sorrendje (x-xk) a 2. és a magasabb, közelítő egyenlőség kapunk
Pontban xk + 1 közelítő megoldást lehet kiszámítani a következő képlettel
Ez az arány is nevezik. Euler módszer.
Ezt követően, a numerikus módszerek jelentősen javult. Ez a fejlődés végeztük két fő irány: módszerek, későbbi nevén a Runge-Kutta módszer és véges differencia módszerek, a legfontosabb képviselője a to-ryh az Adams módszer.
Az előnyök a Runge - Kutta módszerrel között az a tény, hogy az algoritmusok, amelyek kapunk ezeken alapuló, egységesek, azaz, nem változik, amikor mozog az egyik rács ponttól a másikig ... Továbbá Runge - Kutta integrációs lépés szerint változtatható a kívánt pontosabb számításokat anélkül, hogy jelentős szövődménye az algoritmus (lásd Kutta -. Merson módszer, Runge szabály). Alapján ezek a módszerek létrehozásához kellően szilárd kétoldalú eljárások. A fő hátrány az, hogy kiszámításához közelítő megoldások egy pontban a rács igényel több számítástechnikai jobb oldalán az f (x, y) .differentsialnogo egyenlet (1). Ez vezet, különösen a komplex jobb oldalán, ami jelentős növekedés a számítási idő.
A véges differencia módszerek, beleértve az eljárás Adams, a mindössze egy számítás a jobb oldalon az egyik háló csomóponthoz. Ez a fő előnye a véges-differencia módszerek. Annak érdekében azonban, hogy indítsa el a számítás véges különbség formula, a további „kezdeti érték” kell számítani, mielőtt. Ez vezet az a tény, hogy az algoritmus nem egyenletes - az első néhány értéket kell számítani más képleteket. Egy további jelentős hátrányt a lehetetlensége véges differencia módszerek egyszerűen megváltoztatja az integrációs lépés, azaz. E. A szükségességét, hogy egy rács egy pitch érték állandó.
Ennek alapján a véges differencia módszerek vannak kialakítva. hívott. predikciós módszerek - finomítás, to- egy pár véges képletek egységes amelyek közül az egyik (prediktív) van, mint általában, explicit, és a második (finomítja) - implicit pl. jósolja:
A terápiák, pontosítása módszereket sikeresen használják megoldására merev rendszerek közönséges differenciálegyenletek. Annak ellenére, hogy a differenciálegyenlet magasabb rendű hivatalosan csökkenti a rendszer 1. rendű egyenletek, módszerek alkalmazhatóak az adott típusú differenciálegyenlet, néha sokkal hatékonyabb. Ebben a tekintetben, a fejlődő véges differencia módszerek magasabb rendű származékok, pl. Stormer módszer.
Irod [1] példa B e n z és I. F és D körülbelül NP számítástechnikai módszerek, 2nd ed. t 2, M. 1962 .; [2] Bahvalov NS Numerikus Analízis, 2nd ed. M. 1975; [3] A modern Numerikus módszerek közönséges differenciálegyenletek, Oxf. 1976.
Encyclopaedia of Mathematics. - M. szovjet Enciklopédia. Vinogradov. 1977-1985.