Valószínűségszámítás bevezetése

Practice vizsgálat véletlenszerű jelenségek azt mutatja, hogy bár az eredmények az egyes megfigyelések, még ki az azonos körülmények között, igen különbözőek lehetnek ugyanabban az időben, az átlagos eredményeket egy kellően nagy számú megfigyelések stabilak, és csak kis mértékben függ az egyedi megfigyelések eredményeit.

Az elméleti indoka ennek figyelemreméltó tulajdonságait véletlen jelenségek a nagy számok törvénye. Az úgynevezett „nagy számok törvénye” kombinált csoport elmélet, létrehozva a stabilitást a átlageredményei nagyszámú véletlenszerű események és magyarázza az oka ennek a stabilitást.

A legegyszerűbb formája a nagy számok törvénye, és történelmileg az első tétel ebben a szakaszban - Bernoulli-tétel. amely kimondja, hogy ha a valószínűsége, hogy az esemény az azonos az összes vizsgálatban a vizsgálatokat egyre gyakrabban események hajlamos a valószínűsége az események, és már nem véletlen.

Poisson-tétel azt állítja, hogy a frekvencia az esemény egy sor független kísérletek elkötelezett amellett, hogy a számtani átlagát annak valószínűségét, és elveszti véletlenszerűen.

Határeloszlástételek valószínűségszámítás, De Moivre-Laplace ismertesse az események frekvencia stabilitás eseményeket. A természet az, hogy a határeloszlása ​​az előfordulások számát az esemény egy korlátlan növekedés a vizsgálatok száma (ha a valószínűsége, hogy az esemény azonos minden teszt) egy normális eloszlás.

A centrális határeloszlás-tétel magyarázza a széles körű terjesztése a normális eloszlás törvény. A tétel kimondja, hogy ha a véletlen érték generálódik hozzáadásával nagyszámú független valószínűségi változók véges eltéréseket, a törvény terjesztése a valószínűségi változó majdnem normális törvény.

Az alábbi tétel az úgynevezett „nagy számok törvénye”, mondja, hogy bizonyos, eléggé általános, feltételeit, a számának növekedése véletlen változók hajlamos a számtani középérték számtani középértéke az elvárások, és megszűnik lehet véletlen.

Ljapunov-tétel magyarázza széleskörű elterjedése a rendes törvény és magyarázza a mechanizmus kialakulása. A tétel azt sugallja, hogy amikor a véletlen érték generálódik hozzáadásával nagyszámú független valószínűségi változók varianciája képest kicsi az összeg szórás, a törvény terjesztése a valószínűségi változó majdnem normális törvény. Mivel a véletlen változók mindig létrehoz egy végtelen számú oka, és gyakran ezek egyike sem rendelkezik variancia, amely összehasonlítható a varianciája véletlen változó, a többség a gyakorlatban felmerült véletlen változók engedelmeskedik normális eloszlás törvény.

Az alapja a minőségi és mennyiségi nyilatkozatokat a nagy számok törvénye a Csebisev egyenlőtlenség. Ez határozza meg a felső határt a valószínűségét, hogy az eltérés a értéke a véletlen változó annak elvárás nagyobb, mint egy előre meghatározott szám. Figyelemre méltó, Csebisev-egyenlőtlenség becslést ad az esemény valószínűsége egy véletlen változó, amelynek eloszlása ​​nem ismert, ismert, csak a várható értéke és szórása.

Csebisev egyenlőtlenség. Ha az X valószínűségi változó diszperziós, akkor bármely e> 0 egyenlőtlenséget, ahol M, X és D x - átlag és szórás a valószínűségi változó x.

Bernoulli-tétel. Legyen m n - a sikerek száma n Bernoulli kísérletek és p - a siker valószínűsége egy próba. Ekkor minden e> 0 teljesül.

A központi határeloszlás tétel. Ha a véletlen változók x 1 x 2 ..., x n. ... egymástól független, azonos eloszlású, és a véges variancia, majd amikor n ® egységesen X (-,)

A nagy számok törvénye. Ha a véletlen változók x 1 x 2 ..., x n. ... egymástól független, és minden e> 0

Ezután F = (b) - F (a) bármely valós szám a és b. ahol F (x) - a eloszlásfüggvénye normális törvény.